2.7. Интегрирование выражений, содержащих гиперболические функции
Интегралы вида
могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помощи подстановки
При этом функции подынтегрального выражения выражаются через новые переменные
;
;
Примеры:
2.7.1.
Найти интеграл:
■ Применим формулу:
.
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.7.2.
Найти интеграл:
■ Применим замену:
.
.◄
2.7.3.
Найти интеграл:
■ Для решения
применим формулу:
.
Тогда:
.
Введём новую переменную:
.
Тогда первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.7.4.
Найти интеграл:
■ Так как
,
то Первоначальный интеграл примет вид:
.◄
2.7.5.
Найти интеграл:
■ Применим метод интегрирования по частям:
.
Тогда:
.◄
2.7.6.
Найти интеграл:
■ Так как
,
то первоначальный интеграл примет вид:
.
.
◄
В заключение отметим, что интегралы от трансцендентных функций часто не выражаются через элементарные функции. К таким интегралам относятся:
- интеграл Пуассона;
и
- интегралы Френеля;
- интегральный
логарифм;
- интегральный
синус;
-
интегральный косинус.
Задания для самостоятельного решения
1. Простейшие приёмы интегрирования
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2. Основные приёмы интегрирования
2. 1. Замена переменных в неопределенном интеграле
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2. 2. Интегрирование по частям
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
2. 3. Интегрирование рациональных дробей
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
2. 4. Интегрирование тригонометрических выражений
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47
48.
49.
50.
Ответы:
1. Простейшие приёмы интегрирования
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2. Основные приёмы интегрирования
2. 1. Замена переменных в неопределенном интеграле
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2. 2. Интегрирование по частям
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
2. 3. Интегрирование рациональных дробей
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
2. 4. Интегрирование тригонометрических выражений
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
