5.1.2. Методы управления

Рассматривается задача стабилизации не априори заданных или желаемых траекторий хаотических динамических систем, а неустойчивых периодических траекторий, бесконечное число траекторий которых вплетено в паутину хаотического (нерегулярного) аттрактора. Причем, какая-либо информация о положении этих траекторий в фазовом пространстве, о периоде и амплитуде их колебаний практически отсутствует. Представлены наиболее известные методы стабилизации неустойчивых периодических траекторий хаотических систем. Это OGY-метод, основанный на линеаризации отображения Пуанкаре, и метод Пирагаса, опирающийся на построение обратной связи с запаздыванием, близким к периоду существующего неустойчивого периодического решения. Изложен метод Магницкого, заключающийся в построении обратной связи в расширенном фазовом пространстве.

OGY‑метод. Метод Отта–Гребоджи–Йорке заключается в стабилизации неустойчивого периодического решения хаотической системы путем применения дискретных управляющих воздействий в виде обратной связи в некотором сечении Пуанкаре в окрестности неподвижной точки отображения Пуанкаре, соответствующей исходному циклу. Вид обратной связи определяется линеаризацией отображения Пуанкаре в неподвижной точке. Метод основан на двух ключевых идеях:

1) использование при синтезе регулятора дискретной модели системы, основанной на линеаризации отображения Пуанкаре;

2) использование свойства рекуррентности хаотических траекторий и применение управляющих воздействий только в моменты времени, когда траектория возвращается в некоторую окрестность требуемого состояния или заданной орбиты.

Основа OGY‑метода состоит в следующем. Пусть управляемый процесс описывается соответствующими уравнениями состояния (5.1), где , . Под переменной понимается изменяемый параметр системы, а не стандартная «входная» управляющая переменная, но для нелинейного объекта эта разница несущественна. Пусть требуемая (целевая) траектория является одним из решений системы (5.1) при . Эта траектория может быть как периодической, так и хаотической, но в обоих случаях она рекуррентна (со временем эти траектории попадают в сколь угодно малую окрестность своего положения в прошлом). Построим поверхность (так называемое сечение Пуанкаре)

,

проходящую через заданную точку трансверсально к траектории . Рассмотрим отображение , где есть точка первого возвращения решения системы (5.1) на поверхность , которое начинается в точке и получено при постоянном входе . Отображение называется управляющим отображением Пуанкаре. Вследствие свойства рекуррентности траектории это отображение определено, по крайней мере, для некоторой окрестности точки . Рассматривая последовательность таких отображений, получим дискретную систему

, (5.9)

где ,  – момент времени ‑го пересечения поверхности , а  – значение управления на промежутке и .

Следующий шаг синтеза состоит в замене системы (5.9) линеаризованной в точке дискретной системой

,

в которой , , , . Для полученной системы находится стабилизирующее управление (5.4), например, в виде линейной обратной связи по состоянию: . Тогда получим, что

. (5.10)

Таким образом, неподвижная точка отображения Пуанкаре и, следовательно, искомый неустойчивый цикл системы (5.1) будут стабилизированы, если определить матрицу так, чтобы матрица имела собственные значения по модулю меньше единицы. Окончательно, предлагаемый закон управления имеет вид:

, (5.11)

в котором  – некоторый достаточно малый параметр. Ключевой особенностью метода является то, что управление воздействует только в некоторой окрестности целевой траектории, т. е. в закон кусочно-постоянного управления вводится «внешняя» зона нечувствительности. Этим достигается малое значение управляющего воздействия, которое по норме не превышает .

Для гарантии работоспособности метода следует выбирать параметры регулятора так, чтобы норма ошибки в линейной замкнутой системе убывала: , где . Тогда однажды войдя в ‑окрестность цели, траектория замкнутой системы из нее не выйдет. С другой стороны, траектория наверняка войдет в любую ‑окрестность целевой траектории благодаря свойству рекуррентности.

Для того чтобы использовать OGY‑метод, необходимо преодолеть два серьезных препятствия: неточность модели системы и неполноту измерений текущего состояния процесса. Для устранения второго из них предлагается вместо вектора состояния перейти к так называемому вектору запаздывающих координат, который вводится как , где  – измеряемый выход (например, одна из координат системы), а  – время запаздывания (параметр). При этом закон управления (5.11) принимает вид:

,

где , ,  – максимальная желаемая разница между и , ,  – функция, определяющая вид регулятора.

Чтобы преодолеть первое из отмеченных препятствий, связанное с неопределенностью линеаризованной модели объекта, предложено проводить оценку параметров модели в уравнениях состояния (5.10). Решение проблемы идентификации динамической системы рассмотрено в подразделе 5.2.

Преимуществом OGY‑метода является то, что стабилизация неподвижной точки отображения Пуанкаре и предельного цикла системы достигается малыми управляющими воздействиями в дискретные моменты времени. Однако большим недостатком является то, что неподвижная точка отображения Пуанкаре неустойчива. Поэтому для применимости метода необходимо не только точно знать матрицу (что для систем возможно только численно), но также и ее собственные значения и собственные векторы, соответствующие устойчивому и неустойчивому многообразиям неподвижной точки отображения Пуанкаре. Траекторию при этом необходимо на каждой итерации корректировать в сторону устойчивого многообразия неподвижной точки.

Метод Пирагаса. Метод обратной связи с запаздыванием предложен К. Пирагасом для стабилизации ‑периодической орбиты нелинейной системы (5.1) с помощью простого закона обратной связи:

, (5.12)

где  – коэффициент передачи,  – время запаздывания. Если равно периоду существующего периодического решения уравнения (5.1) при , и решение уравнения замкнутой системы (5.10), (5.12) начинается на орбите , то оно остается в для всех .

Закон обратной связи (5.12) используется также для стабилизации периодического возбужденного процесса в системе (5.1) с ‑периодической правой частью. Тогда следует брать равным .

Предложен и расширенный вариант метода Пирагаса, при котором управление имеет вид

,

где  – измеряемый выход;  – параметры алгоритма.

Аналитическое исследование асимптотических свойств решений замкнутой системы

является трудной задачей и до настоящего времени известны лишь численные и экспериментальные результаты, относящиеся к свойствам и области применимости метода Пирагаса. Проблема нахождения достаточных условий, гарантирующих применимость метода, до сих пор остается нерешенной. Большим недостатком метода является чувствительность к выбору времени запаздывания. Так что, если период искомого цикла заранее не известен, а именно эта ситуация типична для хаотических систем, то получить требуемую сходимость можно только в исключительных случаях, удачно оценив величину периода каким‑либо эвристическим методом.

Метод Магницкого. Метод предложен для локализации и стабилизации неустойчивых особых точек и периодических решений хаотических систем. Метод основан на построении координатно-параметрической обратной связи в расширенном пространстве. Рассмотрим нелинейную динамическую систему

, (5.13)

определенную семейством гладких по совокупности переменных отображений . Пусть  – неподвижная точка системы (5.13), где  – скалярный параметр. Будем полагать, что существует критическое значение системного параметра такое, что точка является устойчивой неподвижной точкой системы (11.13). При значениях и при точка становится неустойчивой неподвижной точкой системы (11.13), которая в этом случае имеет другие регулярные и хаотические аттракторы. Проблема состоит в локализации и стабилизации неустойчивой неподвижной точки системы (11.13) при значениях с помощью малых возмущений параметра .

Рассмотрим ‑мерную динамическую систему

(5.14)

где , а и  – управляющие параметры. Если точка  – неподвижная точка системы (5.13), то точка будет неподвижной точкой системы (5.14). Вычислим Якобиан правой части отображения (5.14) в точке

.

Характеристический полином матрицы имеет вид

, (5.15)

где ,  – главный минор порядка матрицы . При этом , .

Потребуем, чтобы полином (5.15) имел в точке все корни равные некоторому отрицательному значению . В этом случае , а , . Тогда управляющие параметры должны удовлетворять системе из линейных алгебраических уравнений

, . (5.16)

В частности, управляющий параметр определяется непосредственно из уравнения :

.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5.1. Если определитель системы линейных уравнений (5.16) отличен от нуля, то существует область такая, что для любого действительные части всех собственных значений матрицы отрицательны, и точка является асимптотически устойчивой неподвижной точкой системы (5.14). Следовательно, неподвижная точка динамической системы (5.13) может быть локализована и стабилизирована при значениях с помощью решения системы (5.14) с начальными условиями , .

Используя в качестве нового критического значения системного параметра и вычисляя новый Якобиан , можно скорректировать значения управляющих параметров в (5.14) и снова локализовать и стабилизировать неподвижную точку системы (5.13). Этот процесс можно продолжить на всем интервале существования неподвижной точки системы (5.13).

Метод Магницкого позволяет вести поиск устойчивых (в отличие от OGY‑метода) неподвижных точек или асимптотически орбитально устойчивых (в отличие от метода Пирагаса) периодических траекторий. Кроме того метод не имеет проблем с выбором начального приближения, применим к хаотическим системам в случае отсутствия информации о величине периода и положении искомого неустойчивого цикла в фазовом пространстве.