- •3.5. Энтропия
- •3.5.2. Энтропия каскада
- •3.5.3. Обобщенная энтропия (энтропия Реньи)
- •3.5.4. Топологическая энтропия
- •3.5.5. Связь энтропии с характеристическими показателями Ляпунова
- •3.5.6. Время предсказания
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность
- •3.6.1. Автокорреляционная функция
- •3.6.2. Спектральная плотность
- •3.6.3. Связь автокорреляционной функции и спектра
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора
- •3.7.1. Фракталы
- •3.7.2. Геометрические размерности
- •3.7.3. Вероятностные размерности
- •3.7.4. Динамические размерности
- •3.7.5. Странные аттракторы
- •3.8. Определение хаотического отображения
- •4.1.1. Решение задачи Коши для автономной системы
- •4.1.2. Некорректность численных методов решения
- •4.2. Построение отображения пуанкаре
- •4.3. Спектр характеристических показателей ляпунова
- •4.3.1. Вычисление спектра по уравнениям динамической системы
- •4.3.2. Вычисление спектра по временному ряду
- •4.4. Численное исследование мер
- •4.5. Расчет размерности аттрактора
- •4.5.1. Определение емкости
- •4.5.2. Вычисление вероятностных размерностей
- •4.6. Корреляционный интеграл
- •4.7. Оценки энтропии
- •5. Управление хаотической динамикой
- •5.1. Задача управления
- •5.1.1. Постановка задачи
- •5.1.2. Методы управления
- •5.2. Задача идентификации
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Реконструкция аттрактора. Теорема Такенса
- •3) На можно определить динамическую систему; так как , то
- •5.2.3. Выбор параметров реконструкции
- •5.3. Задача прогноза
- •5.3.1. Предсказание временных рядов
- •5.3.2. Локальные методы
- •5.3.3. Глобальные методы
- •Библиографический список
3.5.6. Время предсказания
Энтропия также определяет среднее время, на котором можно предсказать состояние системы с динамическим хаосом. Например, для одномерного треугольного отображения, ограниченного единичным квадратом, после шагов по времени интервал вырастает до интервала . Если становится больше единицы, невозможно определить местоположение траектории на отрезке , и можно сказать лишь, что система с вероятностью находится на интервале , где – инвариантная плотность системы. Другими словами, точное предсказание состояния этой системы возможно только на интервале времени , пока , т. е.
.
На временах, больших , возможны лишь статистические предсказания. Последнее уравнение можно обобщить на динамические системы размерности заменой характеристического показателя на энтропию
.
Величина обратная энтропии (при условии ее положительности) определяет характерное время перемешивания в системе. По прошествии промежутка времени начальная область фазового объема расплывается по всей энергетически доступной гиперповерхности (в отсутствие диссипации) или по предельному подмножеству фазового пространства – странному аттрактору (для диссипативных систем). При большом времени движения описание может быть только вероятностным. При малых временах поведение системы можно предсказать с достаточной точностью (не превышающей точность задания начального положения фазовой точки).
Таким образом, энтропия является важной характеристикой динамической системы и широко используется в качестве критерия хаотичности. Энтропия является мерой средней скорости потери информации о состоянии динамической системы с течением времени.
Энтропия для одномерных отображений равна показателю Ляпунова. Для систем большей размерности энтропия есть мера средней деформации ячейки фазового пространства и равна усредненной по фазовому пространству сумме положительных показателей Ляпунова.
Энтропия характеризует хаотическое движение, а странный аттрактор можно определить как аттрактор с положительной энтропией.
3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность
Для выявления хаотических режимов наряду с характеристическими показателями Ляпунова и энтропией используются автокорреляционная функция и спектр мощности. Характер кривых, полученных при вычислении корреляционного интеграла и спектральной плотности, один из самых простых и в то же время вполне надежных критериев, используемых для анализа режимов движения динамических систем.
3.6.1. Автокорреляционная функция
Для непрерывной системы автокорреляционная функция вводится как среднее по временному интервалу произведений , взятых в два различных момента времени и
.
Обозначим через итерации дискретной системы , – число итераций, – начальное состояние.
Введем среднее (по числу итераций) значение
.
Зная среднее значение , можно для каждой итерации найти ее отклонение от среднего значения . Рассмотрим две итерации, номера которых отличаются на величину
и .
Корреляционной (или автокорреляционной) функцией называется величина, определяемая пределом
.
Корреляционная функция показывает насколько отклонения от среднего значения , вычисленные через шагов (т. е. и ), связаны в среднем друг с другом. Если траектория хаотическая, то корреляция отсутствует, и функция спадает до нуля.
Если для данного отображения известна инвариантная мера, корреляционную функцию можно записать в следующем виде
.
Здесь использовано свойство коммутативности итераций
.
Последовательность для одномерного случая, может быть охарактеризована с помощью:
‑ показателя Ляпунова, который определяет скорость разбегания близких точек под действием отображения ;
‑ инвариантной плотностью вероятности, которая служит мерой того, как “плотно” точки итерационной последовательности распределяются на интервале;
‑ корреляционной функцией, которая измеряет зависимость между итерациями через шагов.
Пример. В случае треугольного отображения
, ,
для которого хаотическая последовательность равномерно покрывает единичный интервал, и инвариантная мера равна , для корреляционной функции имеем
,
где – дельта-функция Кронекера, равная нулю при несовпадающих значениях индексов. В случае треугольного отображения итерации коррелированны только при интервале корреляции , т. е. если номера итераций совпадают. Таким образом, последовательность итераций треугольного отображения дельта‑коррелирована.