- •3.5. Энтропия
- •3.5.2. Энтропия каскада
- •3.5.3. Обобщенная энтропия (энтропия Реньи)
- •3.5.4. Топологическая энтропия
- •3.5.5. Связь энтропии с характеристическими показателями Ляпунова
- •3.5.6. Время предсказания
- •3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность
- •3.6.1. Автокорреляционная функция
- •3.6.2. Спектральная плотность
- •3.6.3. Связь автокорреляционной функции и спектра
- •3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора
- •3.7.1. Фракталы
- •3.7.2. Геометрические размерности
- •3.7.3. Вероятностные размерности
- •3.7.4. Динамические размерности
- •3.7.5. Странные аттракторы
- •3.8. Определение хаотического отображения
- •4.1.1. Решение задачи Коши для автономной системы
- •4.1.2. Некорректность численных методов решения
- •4.2. Построение отображения пуанкаре
- •4.3. Спектр характеристических показателей ляпунова
- •4.3.1. Вычисление спектра по уравнениям динамической системы
- •4.3.2. Вычисление спектра по временному ряду
- •4.4. Численное исследование мер
- •4.5. Расчет размерности аттрактора
- •4.5.1. Определение емкости
- •4.5.2. Вычисление вероятностных размерностей
- •4.6. Корреляционный интеграл
- •4.7. Оценки энтропии
- •5. Управление хаотической динамикой
- •5.1. Задача управления
- •5.1.1. Постановка задачи
- •5.1.2. Методы управления
- •5.2. Задача идентификации
- •5.2.1. Постановка задачи
- •5.2.2. Реконструкция аттрактора. Теорема Такенса
- •3) На можно определить динамическую систему; так как , то
- •5.2.3. Выбор параметров реконструкции
- •5.3. Задача прогноза
- •5.3.1. Предсказание временных рядов
- •5.3.2. Локальные методы
- •5.3.3. Глобальные методы
- •Библиографический список
5.3.3. Глобальные методы
К глобальным обычно относят те методы, в которых аппроксимация уравнений динамики осуществляется единой функцией во всей используемой области ‑пространства, т. е. сразу по всему множеству известных пар . Эти методы в первую очередь используются не для прогноза, а для анализа полученных уравнений движения или в случае необходимости глобальных идентификационных характеристик системы.
В качестве аппроксимирующей функции используются обычно многочлены. Коэффициенты многочлена находятся при минимизации полной ошибки
.
Методу присущи те же недостатки, что и локальной нелинейной аппроксимации, но устранить их еще труднее. Метод следует рассматривать скорее как статистическую модель.
При обработке временных рядов чаще используются методы, которые можно назвать глобальными аппроксимациями с локальными свойствами. К ним относится метод радиальных базовых функций.
Радиальные базовые функции. Для аппроксимации уравнений динамической системы выбирается точек-центров , которые могут и не совпадать с реконструированным вектором , и базовая или базисная функция одной переменной . Отображение строится в виде
.
Коэффициенты определяются из условия минимизации функционала ошибки
,
где . В матричной форме это соотношение записывается в виде
.
Из последнего соотношения следует, что вектор коэффициентов является решением системы линейных уравнений
.
В ряде работ было показано, что для широкого класса функций матрица невырождена и, следовательно, метод реализуем.
Модификацией метода радиальных функций является метод ядер плотности – также статистическая модель. При этом функция используется для аппроксимации плотности вероятности и условной вероятности.
.
В качестве предсказания для следующего значения используется среднее значение по условной вероятности
.
В заключении следует отметить, что задача оценки параметров динамической системы по временному ряду в общем случае является некорректной. Отметим требования к динамической системе, при выполнении которых задача обработки становится корректной.
Свойства отображения . Теорема Такенса требует, чтобы отображение динамической системы было, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемо. Кроме того, предполагается, что производные не просто непрерывны, но и «не слишком велики».
Особенности геометрической структуры аттрактора динамической системы и неоднородности инвариантной меры. Сравнительно редко посещаемые участки аттрактора могут вносить достаточно существенный вклад в измеряемые характеристики, чтобы сделать погрешность неприемлемо большой. При использовании алгоритмов нелинейной динамики, особенно оценок размерности, предполагается «однородность» свойств аттрактора, начиная с некоторого масштаба.
Длина выборки и точность измерений предполагается достаточной для применимости методов нелинейной динамики, в частности, реконструкции по Такенсу. Если характеристики при помощи некоторого функционала необходимо рассчитывать на масштабах , то необходимо, чтобы уровень шума был хотя бы в несколько раз меньше , а аттрактор должен быть заполнен точками с достаточной плотностью, чтобы расстояние до ближайшего соседа также было в несколько раз меньше .