5.3. Задача прогноза

Задача прогноза – одна из первых задач анализа временных рядов. О статистическом подходе к ее решению сказано достаточно много. В этом разделе остановимся на подходе, который основан на представлениях нелинейной динамики.

5.3.1. Предсказание временных рядов

Предполагается, что мы имеем дело с реконструкцией некоторой динамической системы по скалярному ряду. Согласно теореме Такенса должно существовать отображение такое, что

(5.20)

или

. (5.21)

Все динамические методы прогноза основаны на различных методах аппроксимации этих отображений. Методы прогнозирования принято делить на локальные, глобальные и «глобальные с локальными свойствами».

Задачу прогноза можно сформулировать следующим образом. Имеется временной ряд, заданы параметры реконструкции, и для векторов известны значения искомой функции, т. е. . Требуется найти значение искомой функции в новой точке , . Априорные сведения о функции скудны. Во‑первых, если параметры реконструкции выбраны правильно, можно ожидать её непрерывность и дифференцируемость. Во‑вторых, она чаще всего определена только на поверхности некоторой размерности , хотя конкретное значение неизвестно.

5.3.2. Локальные методы

При использовании методов этой группы функции или строятся как множество локальных аппроксимаций в окрестностях отдельных точек, причем «сшивать» друг с другом эти отдельные аппроксимации не требуется.

Для поиска функции находим ближайших соседей точки , которые обозначим . Пусть в окрестности точки функцию можно аппроксимировать полиномом степени , т. е. . Коэффициенты полинома можно найти методом наименьших квадратов, минимизируя функционал

.

Количество точек временного ряда должно быть больше числа искомых коэффициентов . Поэтому очень редко используются полиномы степени выше двух, обычно только при .

Методы нулевого порядка. В этом случае имеем полином нулевого порядка (константа). Для его построения находят ближайшего соседа и полагают , либо используют взвешенную сумму по нескольким ближайшим соседям

.

Выбор весов  ‑ самостоятельная задача. Возможен выбор, например, или и т. д. При удачном выборе весов метод работает не хуже методов первого порядка, но более устойчиво.

Методы первого порядка. Полином первого порядка содержит коэффициентов, которые можно представить как скаляр и вектор

.

Значения коэффициентов определяются методом наименьших квадратов. Недостатком метода является его неустойчивость при прогнозе на большое количество шагов вперед. Точность такой аппроксимации составляет , где .

Нелинейные локальные аппроксимации. Для этих методов порядок точности может быть и выше. Однако их использование связано с дополнительными проблемами. Во‑первых, из-за большого количества искомых коэффициентов количество используемых соседей должно быть велико, что заставляет увеличивать окрестность, а поэтому снижается точность. Во‑вторых, становится актуальной проблема выбора существенных переменных, число которых обычно берется меньше . В противном случае, если точки лежат на поверхности размерности , то среди одночленов, входящих в искомый полином, появятся линейно зависимые, что затруднит использование метода наименьших квадратов. В‑третьих, возможны проблемы и с устойчивостью таких аппроксимаций.