5.2.3. Выбор параметров реконструкции

Практическая реализация реконструкции аттрактора часто сталкивается с проблемами, возникающими из-за ограниченности длины обрабатываемого ряда и связанными с возможностями хранения информации, скоростью обработки и стационарностью исследуемого объекта. Для простоты будем полагать, что имеется временной ряд из чисел, которые являются значениями некоторой наблюдаемой, характеризующей одну и ту же динамическую систему. Тогда реконструированные ‑вектора дадут точек на поверхности , по которым можно будет судить о динамической системе и ее аттракторе. Объем информации, который можно извлечь из этого множества точек зависит от свойств поверхности (насколько она искривлена, закручена и т. п.) и от свойств функции (насколько велики ее производные). Так как точек конечное число, то существует некоторое характерное расстояние между точкой и ее ближайшим соседом. Меньшие масштабы будут неразрешимы для данного временного ряда. Если на масштабах порядка поверхность сильно искривлена, а функция сильно изменяется, то методы нелинейной динамики будут, скорее всего, бесполезны. Эта же проблема в несколько ином виде встречается в задачах цифровой обработки сигналов (теорема Котельникова). Если временной интервал между отсчетами равен , то частоты больше чем разрешить невозможно. Однако в задачах реконструкции свойства и априори неизвестны, поэтому аналогичных оценок (скажем, кривизна или производная, не превышающие ) сделать невозможно. Можно только разумно распорядиться несколькими свободными параметрами. Чаще всего это и .

Свойства реконструкции (свойства поверхности и отображения ) зависят от динамической системы , наблюдаемой , задержки и размерности векторов (иногда ее называют «размерность вложения»). Обычно первые два фактора менять невозможно. Можно изменять и . Поэтому задача оптимального выбора параметров реконструкции формулируется так, чтобы получаемый набор реконструированных векторов был наиболее информативен.

Для оценки информативности реконструкции необходимы критерии ее качества. Исчерпывающих критериев качества на сегодня не существует. Поэтому при практическом использовании не самым худшим оказывается простой подбор и : производится расчет некоторой величины (скажем размерности) для нескольких и для последовательности , пока результат не перестанет зависеть от .

Одна из основных идей реконструкции состоит в следующем. Через каждую точку фазового пространства должна проходит единственная траектория реконструированной динамической системы, т. е. реконструкция не должна содержать самопересечений траекторий. Самопересечений в массиве дискретных точек скорее всего никогда не будет, поэтому ищут так называемых «ложных близких соседей» –  пары векторов, которые оказались близкими в реконструкции, но их прообразы находились далеко.

Пусть и  – два близких соседа в реконструкции размерности , а и  – соответствующие им точки в реконструкции размерности . Если мы имеем дело с истинно близкими соседями, то они чаще всего будут близкими в обеих реконструкциях. Ложные близкие соседи в реконструкции , как правило, превращаются в отдаленных с ростом . Пары для которых мало, а  – нет, и получили название «ложных ближайших соседей».

Выбор временного интервала. Для выбора задержки может быть использована идея о том, что если компоненты, образующие вектор, будут независимы друг от друга, то реконструированные вектора будут нести в себе наибольшее количество информации о системе. Простейший способ добиться такой линейной независимости – выбрать , близким к первому нулю автокорреляционной функции для ряда .

На качество реконструкции влияет не сама по себе величина , а временной интервал, захватываемый вектором между первым и последним его элементами. Его называют окном реконструкции и обозначают . Влияние окна реконструкции отличается от влияния размерности , но, тем не менее, может характеризоваться в терминах ложных соседей.

Рассмотрим действие искажений при малой длине окна. В данном случае удобно соотнести момент с серединой окна реконструкции, а размерность считать нечетным числом. Пусть

.

Будем считать, что функция раз дифференцируема, а аргумент представим в долях половины длины окна , где принимает дискретных значений : от до . Тогда

.

Обозначим через вектор, компоненты которого представляют собой просто значения . Тогда

. (5.19)

Далее ортонормируем систему векторов . Это даст систему векторов , компонентами которых будут значения дискретных полиномов Лежандра, подобно тому, как ортогонализация полиномов вида дает непрерывные полиномы Лежандра. Для разложения вектора по получится соотношение, аналогичное (5.19)

,

где . Значения можно получить приближенно, как , если заменить дискретные полиномы непрерывными, а сумму в скалярном произведении – интегралом:

.

Если воспользоваться соотношением

,

то, интегрируя по частям, получим

.

Здесь  – некоторая точка отрезка , с точностью .

С помощью значений можно примерно оценить «размеры» реконструированного множества в направлении как среднеквадратичное отклонение

.

Описанные алгоритмы реконструкции модельных динамических систем по одномерным временным рядам иллюстрируют как возможности современным методов моделирования, так и их недостатки. Техника реконструкции пока еще остается достаточно сложной и требует физической интуиции и экспериментального искусства.