Дискретные алгоритмы оценивания параметров сп
Приведенные выше выражения для нахождения оценок параметров СП и корреляционной функции справедливы для непрерывного времени. В данной лабораторной работе (как и во многих современных технических системах и приборах) аналоговые сигналы генерируются и обрабатываются цифровыми устройствами, что приводит к необходимости некоторого изменения соответствующих выражений. В частности, для определения оценки математического ожидания используется выражение выборочного среднего
,
где
– последовательность отсчетов процесса
(выборка объема
).
Оценкой дисперсии служит выборочная
дисперсия, определяемая выражением
.
Оценка автокорреляционной функции, иначе называемая коррелограммой, находится как
.
Оценкой
плотности распределения вероятностей
мгновенного значения ССП служит
гистограмма. Для ее нахождения
диапазон возможных значений СП разбивается
на
интервалов равной ширины, затем для
каждого
-го
интервала подсчитывается количество
отсчетов выборки, попавших в него.
Гистограмма представляет собой набор
чисел
,
обычно изображаемый в виде решетчатой
диаграммы. Количество интервалов при
заданном объеме выборки выбирается
исходя из компромисса между точностью
оценивания и разрешением (степенью
подробности) гистограммы.
Корреляционно-спектральная теория случайных процессов
Если интересоваться только моментными
характеристиками первого и второго
порядка, которые определяют свойство
стационарности в широком смысле, то
описание стационарного СП осуществляется
на уровне автокорреляционной функции
и спектральной плотности мощности
,
связанных парой преобразований Фурье
(теорема Винера–Хинчина):
,
.
Очевидно, СПМ – неотрицательная
функция. Если процесс имеет ненулевое
математическое ожидание
,
то к СПМ добавляется слагаемое
.
Для вещественного процесса АКФ и СПМ – четные вещественные функции.
Иногда можно ограничиться числовыми характеристиками – интервалом корреляции и эффективной шириной спектра. Интервал корреляции определяют по-разному, в частности, известны следующие определения (рис. 4.2).
а б
Рис. 4.2
1. Интервал корреляции – такое значение , при котором АКФ спадает до заданного уровня, например, до 1/10 максимального значения.
2. Интервал корреляции – ширина основания прямоугольника, имеющего площадь, равную площади под графиком АКФ.
Эффективную ширину спектра определяют по спектральной плотности мощности аналогичными способами.
Очень часто используют следующие две модели стационарных случайных процессов.
Белый шум – стационарный случайный процесс с нулевым средним, имеющий АКФ вида
.
Очевидно, в этом случае СПМ постоянна
на всех частотах от
до
,
.
Квазибелый шум (шум, белый в
ограниченной полосе частот от
до
)
имеет СПМ вида
АКФ квазибелого шума согласно теореме Винера–Хинчина имеет вид
.
Воздействие стационарного случайного процесса на линейные стационарные цепи
Рассматривая воздействие стационарного
случайного процесса (ССП) на линейную
стационарную цепь в рамках
корреляционно-спектральной теории,
достаточно интересоваться только
моментами не выше второго порядка: при
воздействии ССП
на линейную стационарную цепь с
комплексной частотной характеристикой
(КЧХ)
и импульсной характеристикой
можно ставить задачу найти среднее
значение (математическое ожидание) и
АКФ выходного процесса
,
а также взаимно корреляционные функции
и
процессов
и
.
Если
на вход цепи с КЧХ
воздействует стационарный процесс
с нулевым средним и АКФ
,
то выходной процесс имеет спектральную
плотность мощности
.
(4.2)
Поскольку частотные функции в (4.2) умножаются, соответствующие временные функции взаимодействуют посредством свертки
.
Здесь временнáя функция соответствует спектральной плотности мощности входного процесса, а
– автокорреляционная функция импульсной характеристики.
Взаимно корреляционная функция входного и выходного процессов
.
Для ВКФ
входного и выходного процессов выполняется
свойство
.
Анализ распределения шума на выходе линейной стационарной цепи в общем случае весьма сложен, однако во многих практически важных случаях выходной процесс можно считать гауссовским. Это предположение оправдано, когда:
1) эффективная ширина спектра входного процесса намного шире, чем полоса пропускания цепи (при этом происходит нормализация процесса);
2) на вход цепи воздействует гауссовский процесс, не обязательно широкополосный.
Безынерционные нелинейные преобразования случайных процессов
Анализ многомерного распределения СП на выходе нелинейной цепи в общем случае представляет собой крайне сложную задачу. Если нелинейная цепь является безынерционной, то фактически рассматривается нелинейное преобразование случайной величины, анализ которого сравнительно прост.
Нелинейная безынерционная цепь
описывается характеристикой
– зависимостью мгновенного значения
выходного процесса от мгновенного
значения
входного процесса в этот же момент
времени. Если эта зависимость монотонна,
то
,
где
– функция, обратная по отношению к
.
Если характеристика цепи не является
монотонной и содержит
участков монотонности, то
,
где
– функция, обратная к характеристике
нелинейности на
-м
участке монотонности.