20. Понятие момента силы относительно закрепленной точки. Расчет момента сил относительно закрепленной оси.

Моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиус-вектора частицы r, проведенного из точки О в точку приложения силы F, на вектор этой силы: M=[r, F]

Величина вектора момента силы рассчитывается:M=rFsin(α)=FR, где R= rsin(α)=плечо силы

Момент силы относительно закрепленной оси:

Моментом силы относительно закрепленной оси Z называется величина, равная проекции вектора момента сил М на данную ось, взятого относительно произвольной точки О, расположенной на этой оси.

M_z=[r, F]_{z .} Найдем значение твердого тела М. Разложим эту силу на три составляющих: F=F_||+F_t+F_n, F_||-составляющая. Момент силы относительно точки О можно представить M=M_||+M_t+M_n Моменты M_|| и M_n перпендикулярны оси вращения и их проекции на ось равны нулю->M_z=M_tz=|M|cos(β)=rF_t cos(β)=RF_t Момент силы относительно закрепленной оси характеризует способность силы вращать тело относительно данной оси.

21. Момент инерции. Вычисление момента инерции относительно оси вращения.

Момент инерции. Моментом инерции частицы массой m относительно оси вращения называется величина, равная:

I=mR²

I=Ʃm_iR_i² , следовательно момент инерции твердого тела зависит от

•массы тела;

•формы и размеров тела;

•распределения массы относительно оси вращения.

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции этого тела, взятого относительно параллельной ей оси, которая проходит через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции относительно оси Z равен: I₀₌Ʃm_iR_ci² , а момент инерции относительно Z’ равен I₌Ʃm_iR_i² Преобразуем: I₌Ʃm_iR_i²⁼Ʃm_i(d+ R_ci)²= Ʃm_id²+ Ʃm_iR_ci²+2 Ʃm_i(d+ R_ci)= d²Ʃm_i+ Ʃm_iR_ci²

+2(d, Ʃm_i R_ci) ->I=I₀+md²

Произведение момента инерции частицы на угловое ускорение равно результатирующему моменту сил, действующих на эту частицу: M=Iε

22. Кинетическая энергия вращающегося тела. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение. Теорема Кёнига.

Расчет кинетической энергии твердого тела, совершающего вращательное движение

Ei= mi·Vi2/2 = mi·ω2·Ri2/2, -> ,

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение.

Любое плоское движение твердого тела массой можно представить как комбинацию вращательного движения в СО, связанной с центром масс Цсистеме), и поступательного движения относительно лабораторной системы отсчета (ЛСО).

Рассчитаем кинетическую энергию твердого тела как сумму кинетических энергий его частей (материальных точек)

Теорема Кёнига

Кинетическая энергия твердого тела равняется сумме кинетических энергий его поступательного и вращательного движений Eкв Цсистеме.

23. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Условие равновесия твердого тела.

24. Момент импульса материальной точки и твердого тела. Момент импульса твердого тела относительно закрепленной оси. Уравнение моментов. Законы изменения и сохранения момент импульса.

Момент импульса частицы: Моментом импульса L частицы А относительно точки О называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора частицы r на ее импульс p: L=[r,p]=m[r,v]

В общем случаи модуль момента импульса частицы равен: L=rmvsin(α)=Rmv Момент импульса частицы относительно закрепленной оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент импульса твердого тела: Рассмотрим твердое тело совершающее вращательное движение вокрг оси с угловой скоростью ω

Моментом импульса тела называется величина, равная векторной сумме моментов импульса его частей:

L=ƩL_i=Ʃ[r_i,p_i]=Ʃm_i[r_i,v_i] проекция моментов импульса на ось Z равна: L_zi=R_im_iv_i=R_i²m_i ω_z -> L_z= ƩL_zi= ƩL_icos(β)= ƩR_i²m_i ω_z=I ω_z

Закон изменения момента импульса:

Моментом импульса системы называется величина L , равная векторной сумме моментов импульсов отдельных ее частей Li, взятых относительно одной и той же точки выбранной системы отсчета

Скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на части этой системы.

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю.