2. Надежность системы с зависимыми элементами Типовые задачи с решениями

Предполагается, что система состоит из n одинаковых элементов, электрически соединенных параллельно. Интенсивности отказов каждого из элементов системы не зависят от времени, но зависят от числа отказавших элементов.

Среднее время эксплуатации такой системы при условии, что она выходит из строя при выходе из строя последнего элемента, определится как

T_ср = . (2.1)

Если же отказ системы наступает, когда в ней остается m элементов, среднее время эксплуатации будет

Т_ср(m) = (2.2)

В выражениях (2.1) и (2.2) _m(m = 1...n) – интенсивность отказа единичного элемента при эксплуатации в системе m элементов.

2.1. Система состоит из 4 элементов, включенных в смысле надежности параллельно. Предполагая независимость элементов, определить среднее время эксплуатации системы при интенсивности отказа единичного элемента l = 1 1/год.

Предполагая далее, что элементы зависимы, найти интенсивность отказа единичного элемента в системе из 4 элементов (l₄), если интенсивности отказов обратно пропорциональны числу элементов, находящихся в эксплуатации, а среднее время эксплуатации системы то же, что и для системы с независимыми элементами.

Решение

Среднее время эксплуатации системы с независимыми элементами, включенными в смысле надежности параллельно, будет

Т_ср = года.

При эксплуатации системы с зависимыми элементами при заданном условии относительно интенсивности отказов элементов в неполной системе: l₃ = l₄ · 4/3, l₂ = l₄ · 4/2, l₁ = l₄ · 4. Следовательно:

Т_ср = года

и ₄ = 0.48 1/год, т. е. при эксплуатации системы с зависимыми элементами средний срок ее службы, равный среднему сроку службы системы, эксплуатируемой с независимыми элементами, достигается при примерно вдвое меньшей интенсивности отказа единичного элемента.

2.2. Система состоит из 5 соединенных параллельно в смысле надежности элементов. Интенсивности отказов элементов обратно пропорциональны квадрату их количества в системе. Определить среднее время эксплуатации системы, если ее отказ наступает в результате отказа 3 элементов. Интенсивность отказа единичного элемента в полной системе составляет = 0.1 1/год.

Решение

Если отказ системы наступает при отказе 3 элементов, то m = 2 (m – число оставшихся в системе элементов к моменту ее отказа). Следовательно, среднее время эксплуатации системы

Т_ср = (2.3)

где l₄ = l₅ = 0.1·1.5625 = 0.15625 1/год, 0.1·2.78 = 0.278.

Подставляя l₃, l₄ и l₅ в (2.3), получим Т_ср = 4.8 года.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 2 Задание 2

Задача 1.

Варианты 1 – 12. Система состоит из n элементов, соединенных в смысле надежности параллельно. Отказ системы наступает после отказа всех ее элементов. Интенсивность отказа элементов при их эксплуатации в полной системе – l_n. Задано соотношение между интенсивностями отказов элементов при их эксплуатации в системе из любого числа элементов m (m = 1...n). Определить среднее время эксплуатации системы (Т_ср.зав) и сравнить его со средним временем эксплуатации системы с независимыми элементами (l = l_n).

номер варианта	n	ln, 1/год	lm, 1/год (m = 1...n)
1	3	0.2	Обратно пропорциональна кубу числа элементов, находящихся в эксплуатации
2	3	0.3
3	3	0.4
4	3	0.5

Окончание таблицы

номер варианта	n	ln, 1/год	lm, 1/год (m = 1...n)
5	4	0.2	Обратно пропорциональна квадрату числа элементов, находящихся в эксплуатации
6	4	0.3
7	4	0.4
8	4	0.5
9	5	0.2	Обратно пропорциональна квадратному корню из числа элементов, находящихся в эксплуатации
10	5	0.3
11	5	0.4
12	5	0.5

Варианты 13 – 22. Система состоит из n элементов, соединенных в смысле надежности параллельно. Отказ системы наступает после отказа всех ее элементов. Определить среднее время эксплуатации системы с независимыми элементами при интенсивности отказа единичного элемента l=0.1 1/год, а также интенсивность отказа единичного элемента в полной системе с зависимыми элементами (l_n), при которой среднее время эксплуатации системы с независимыми и зависимыми элементами будет одинаковым. Соотношение между интенсивностями отказов элементов в системе с зависимыми элементами при любом их числе задано.

Номер варианта	n	lm, 1/год (m = 1...n)
13	2	Обратно пропорциональна четвертой степени числа элементов, находящихся в эксплуатации
14	3
15	4
16	5
17	3	Обратно пропорциональна квадратному корню из числа элементов, находящихся в эксплуатации
18	4
19	5
20	3	Обратно пропорциональна кубу числа элементов, находящихся в эксплуатации
21	4
22	5

Варианты 23 – 25. Система состоит из n элементов, соединенных в смысле надежности параллельно. Отказ системы наступает после отказа всех ее элементов. Определить среднее время эксплуатации системы с зависимыми элементами, если l_n = 0.1 1/год, а интенсивности отказов единичных элементов в неполной системе обратно пропорциональны квадрату числа эксплуатируемых элементов. Найти также интенсивность отказа l единичного элемента в системе с независимыми элементами, при которой среднее время эксплуатации в системах с зависимыми и независимыми элементами будет одинаковым.

Номер варианта	23	24	25
n	4	5	6

Задача 2.

Во всех вариантах определить в условиях первой задачи среднее время эксплуатации системы с зависимыми элементами, выходящей из строя при отказе q элементов.

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
q	2	2	2	2	3	3	3	3	2	2	2	2	2	2	3
Номер варианта	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
q	1	1	2	3	2	2	2	2	2	3