- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
- •Глава 1. Введение в анализ
- •Определение функции
- •Предел функции
- •1.3. Непрерывность функций
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •2.2. Определение производной
- •2.3. Дифференцирование функций
- •2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
- •2.5. Производные высших порядков
- •Применение второй производной в задачах механики
- •Дифференциал функции
- •2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.9. Исследование функций с помощью производных
- •2.10. Локальный экстремум функции
- •2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
- •2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба
- •2.13. Асимптоты графика функции
- •2.14. Общая схема исследования функции
- •2.15. Формула Тейлора
- •2.16.Векторная функция скалярного аргумента
- •2.17.Дифференциал длины дуги
- •2.18.Кривизна
- •Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Введение в анализ………………………………………3
- •1.1. Определение функции………………………………………………….3
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………………………………………………………..28
2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Пусть представляет собой неопределенность вида или при х → ω (ω — число или один из символов бесконечности), если
,
Раскрыть эту неопределенность — это значит найти или доказать, что этот предел не существует.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть f ( x), g( х) дифференцируемы на некоторой окрестности точки ω, за исключением, быть может, ω и g'( х) ≠ 0 в этой окрестности. Пусть, далее,
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует и , причем
= .
Замечание . В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида и может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Неопределенность вида ( f (x) · g (x), f (x)→ 0, g (x) → ∞ при х → ω). Эта неопределенность сводится к неопределенности вида или представлением произведения в виде дробей
.
Неопределенность вида ∞ – ∞ ( f (x) – g (x), f (x)→ ∞ (– ∞), g (x) → ∞ (–∞) при х → ω) сводится к неопределенности или представлением произведения в виде дробей
.
Неопределенности вида сводятся к неопределенности 0 · ∞ с помощью логарифмирования.
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, можем применить правило Лопиталя:
.
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
В данном случае правило Лопиталя применено трижды.
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Таким образом, применяя правило Лопиталя, получим:
В данном случае правило Лопиталя применено дважды.
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Пусть , прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
При нахождении предела использовали первый замечательный предел
.
Получили
,
следовательно,
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Пусть , прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
.
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
.
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
При нахождении предела использовали первый замечательный предел .
Получили
,
следовательно,
Пример. Найти .
Решение. При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Пусть , прологарифмируем функцию:
.
Вычислим предел логарифма функции:
При непосредственной подстановке предельного значения аргумента имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к бесконечности:
.
Имеет место неопределенность вида , значит можно применить правило Лопиталя:
В данном случае правило Лопиталя применено трижды.
Получили
,
следовательно,
Упражнения
Найти пределы следующих функций, применяя правило Лопиталя.
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. ; |
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. . |