2.14. Общая схема исследования функции

Пользуясь средствами дифференциального исчисления, можно провести глубокое и разностороннее изучение свойств функции и обосновать характерные её особенности. Для исследования функций и построения её графика удобно пользоваться следующей схемой:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти интервалы монотонности функции, точки экс­тремума.

7. Найти интервалы выпуклости функции, точки перегиба.

8. Построение графика функции.

Пример. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение. Областью определения функции является промежуток .

Исследуем функцию на четность:

,

так как и , то функция ни четная, ни нечетная.

Функция не является периодической.

Определим координаты точек пересечения с осями координат:

.

Значит, координаты точек пересечения с Ох и Оу – (0 ; 0), (1; 0).

Функция непрерывна и определена на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот нет. Наклонных асимптот нет, так как при величина является бесконечно большой величиной.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции первого порядка:

.

Найдем стационарные точки:

.

Таким образом, разбивают числовую прямую на три промежутка , , .

Заполним таблицу

х
Знак	-	+	-
Поведение у	убывает	возрастает	убывает

Найдем значения функции в точках :

Для определения промежутков выпуклости найдем производную функции второго порядка:

.

.

Составим таблицу

	Знак	+	-
	Направление выпуклости

Найдем значение функции в точке :

.

Поскольку при переходе через точку с абсциссой вторая производная меняет знак, точка является точкой перегиба.

Используя результаты исследования, построим график функции

Пример. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение. Областью определения функции является промежуток .

Функция ни четная, ни нечетная. Функция не является периодической.

Определим координаты точек пересечения с осями координат:

.

Значит, функция пересекает ось Ох в точке (1; 0), с осью Оу пересечений нет, так как функция определена при .

Функция непрерывна и определена на промежутке , так как , поэтому вертикальная асимптота.

Наклонная асимпто­та графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:

,

(при нахождении предела использовали правило Лопиталя)

,

(при нахождении предела использовали правило Лопиталя),

Так как , значит, функция имеет горизонтальную асимптоту .

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции первого порядка:

.

Найдем стационарные точки:

.

Таким образом, разбивает числовую прямую на два промежутка , .

Заполним таблицу

	Знак	+	-
	Поведение у	возрастает	убывает

Найдем значения функции в точке :

Для определения промежутков выпуклости найдем производную функции второго порядка:

.

Составим таблицу

	х
	Знак	-	+
	Направление выпуклости

Найдем значения функции в точке :

.

Поскольку при переходе через точку с абсциссой вторая производная меняет знак, точка является точкой перегиба.

Используя результаты исследования, построим график функции

Пример. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение. Функция определена при

,

Значит, областью определения функции является промежуток

.

Исследуем функцию на четность:

,

так как и , то функция нечетная, график функции симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической.

Определим координаты точек пересечения с осями координат:

Значит, функция пересекает ось Ох и ось Оу в точке (0; 0) .

Функция непрерывна и определена на промежутке , так как , поэтому и вертикальные асимптоты.

Наклонная асимпто­та графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:

,

Так как , значит, функция имеет горизонтальную асимптоту .

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции первого порядка:

Стационарных точек нет, так как .

Критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка , , .

Заполним таблицу

	х		(
	Знак	—	—	—
	Поведение у	убывает	убывает	убывает

Для определения промежутков выпуклости найдем производную функции второго порядка:

Составим таблицу:

х
Знак	—	—	+	+
Направлене выпуклости

Найдем значения функции в точке :

Поскольку при переходе через точку с абсциссой , в которой функция определена, вторая производная меняет знак, точка , является точкой перегиба.

Используя результаты исследования, построим график функции

Упражнения

Провести полное исследование функций и построить их график:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8. .