![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
- •Глава 1. Введение в анализ
- •Определение функции
- •Предел функции
- •1.3. Непрерывность функций
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •2.2. Определение производной
- •2.3. Дифференцирование функций
- •2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
- •2.5. Производные высших порядков
- •Применение второй производной в задачах механики
- •Дифференциал функции
- •2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.9. Исследование функций с помощью производных
- •2.10. Локальный экстремум функции
- •2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
- •2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба
- •2.13. Асимптоты графика функции
- •2.14. Общая схема исследования функции
- •2.15. Формула Тейлора
- •2.16.Векторная функция скалярного аргумента
- •2.17.Дифференциал длины дуги
- •2.18.Кривизна
- •Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Введение в анализ………………………………………3
- •1.1. Определение функции………………………………………………….3
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………………………………………………………..28
Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости движущейся точки.
Пусть S = S ( t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Эта функция задает путь S, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через Δ S путь, пройденный точкой за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т.е.
Δ S = S (t + Δ t ) — S (t).
Отношение
называется
средней скоростью точки за время от t
до
t
+ Δ
t.
Чем
меньше Δ
t,
т.
е. чем короче промежуток времени от
t
до
t
+ Δ
t,
тем
лучше средняя скорость характеризует
движение точки в момент времени t.
Поэтому
естественно ввести понятие скорости v
в
данный момент t,
определив
ее как
.
Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t.
Задача о силе тока.
Пусть Q = f (t) — количество электричества, проходящее через фиксированное сечение провода за время t. За время от t до t + Δ t через сечение протекает количество электричества
Средняя
сила тока определяется
.
Предел
при Δ
t
→
0
дает силу тока в момент t:
.
Эти различные задачи свелись к одной математической операции, которую нужно провести над функцией. Эта операция — дифференцирование функции, а ее результат — производная функции.
2.2. Определение производной
Пусть функция у = f (x) определена на интервале (а, b), х - фиксированная точка этого интервала, Δ x - любое приращение аргумента, такое, что число х + Δ х также принадлежит интервалу (а, b).
Считая,
что Δ
x
≠
0,
рассмотрим в данной фиксированной
точке х
отношение
приращения
функции
у
= f
(x)
в
этой точке к соответствующему приращению
аргумента Δ
x:
.
Отношение
называется
отношением
приращения функции к приращению аргумента
в
данной точке
х.
Так
как х
фиксировано, отношение представляет
собой функцию аргумента
.
Эта функция определена для всех значений
аргумента
,
принадлежащих некоторой достаточно
малой
окрестности точки Δ
х
= 0, за исключением самой точки Δ
х
= 0.
Это
дает право рассматривать вопрос о
существовании предела указанной функции
при Δ
х
→ 0.
Определение.
Производной
функции у
=
f
(x)
в данной фиксированной точке х
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
(при условии, что этот предел существует).
Производную
функции у
= f
(x)
в
данной фиксированной точке х
будем
обозначать символом
,
.
Итак, по определению,
.
Если функция имеет производную для всех точек х интервала (а, b), то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х.
Теорема. Если функция f (х) имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Обратное утверждение несправедливо, т. е функция у = f (x) непрерывная в точке может не иметь производную в этой точке.
Например,
функция
непрерывна
в точке х
= 0, но не имеет производной в этой точке.
Пример.
Найти производную функции
исходя из определения.
Решение.
Пусть приращение аргумента -
,
тогда приращение функции
Найдем
предел отношения
при
:
Так
как
,
то
.
Пример.
Найти производную функции
,
исходя из определения.
Решение.
Пусть приращение аргумента -
,
тогда приращение функции
Найдем
предел отношения
при
:
Следовательно,
.
Использовали формулу тригонометрии
и первый замечательный предел
.
Упражнения
Исходя из определения, найти производные следующих функций:
1)
3)
|
2)
4)
|