- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
- •Глава 1. Введение в анализ
- •Определение функции
- •Предел функции
- •1.3. Непрерывность функций
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •2.2. Определение производной
- •2.3. Дифференцирование функций
- •2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
- •2.5. Производные высших порядков
- •Применение второй производной в задачах механики
- •Дифференциал функции
- •2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.9. Исследование функций с помощью производных
- •2.10. Локальный экстремум функции
- •2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
- •2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба
- •2.13. Асимптоты графика функции
- •2.14. Общая схема исследования функции
- •2.15. Формула Тейлора
- •2.16.Векторная функция скалярного аргумента
- •2.17.Дифференциал длины дуги
- •2.18.Кривизна
- •Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Введение в анализ………………………………………3
- •1.1. Определение функции………………………………………………….3
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………………………………………………………..28
2.13. Асимптоты графика функции
Определение. Прямая называется асимптотой для кривой у = f (х), если расстояние от произвольной точки, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении хотя бы одной из координат этой точки к бесконечности.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f (х), если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Замечание. Непрерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
Определение. Прямая у = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при (х → ), если
f (x) = k x + b + (x), где
Теорема. Прямая у = k x + b является наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при ( ), тогда и только тогда, когда существуют и конечны следующие пределы:
, ,
причем при х → ( х → ) наклонная асимптота называется правой (левой).
Замечание 2. При k = 0 прямая у = b называется горизонтальной асимптотой, причем при х → (х → ) - правой (левой).
Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции .
Решение. Область определения функции есть , точка точка разрыва второго рода.
Прямая вертикальная асимптота, так как
, .
Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. Так как наклонная асимптота графика функции имеет вид у = k x + b, то определим параметры k и b:
,
.
Получили k = b = 0, следовательно, у = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти вертикальные асимптоты графика функции .
Решение. Прямая вертикальная асимптота, так как
.
Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. Так как областью определения данной функции является
промежуток , то . Наклонная асимптота графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:
,
(при нахождении предела использовали правило Лопиталя),
.
Один из параметров , значит, функция наклонных асимптот не имеет.
Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. Так как областью определения данной функции является промежуток , то . Наклонная асимптота графика функции имеет вид у = k x + b, определим параметры k и b:
,
.
Таким образом, прямая у = 2 x является наклонной асимптотой графика функции .
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Область определения функции есть , точка точка разрыва второго рода.
Прямая вертикальная асимптота, так как
, .
Найдем наклонные асимптоты графика функции у = k x + b, для чего определим параметры k и b:
,
.
Итак, прямая у = 3 x + 3 является наклонной асимптотой графика функции .
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Функция определена и непрерывна при , т. е. на промежутке . Поскольку функция непрерывна в каждой точке области определения, вертикальные асимптоты могут существовать только на конечных границах области определения.
При имеем
(при нахождении предела использовали правило Лопиталя),
таким образом, прямая не является вертикальной асимптотой.
имеем
,
Следовательно, прямая есть вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты графика функции у = k x + b, для чего определим параметры k и b:
,
,
(при нахождении предела использовали правило Лопиталя).
Следовательно, прямая есть наклонная асимптота.
Упражнения
Найти асимптоты графиков следующих функций:
1. . 2. . 3. .
|
4. . 5. . 6. |