- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
- •Глава 1. Введение в анализ
- •Определение функции
- •Предел функции
- •1.3. Непрерывность функций
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •2.2. Определение производной
- •2.3. Дифференцирование функций
- •2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
- •2.5. Производные высших порядков
- •Применение второй производной в задачах механики
- •Дифференциал функции
- •2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.9. Исследование функций с помощью производных
- •2.10. Локальный экстремум функции
- •2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
- •2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба
- •2.13. Асимптоты графика функции
- •2.14. Общая схема исследования функции
- •2.15. Формула Тейлора
- •2.16.Векторная функция скалярного аргумента
- •2.17.Дифференциал длины дуги
- •2.18.Кривизна
- •Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Введение в анализ………………………………………3
- •1.1. Определение функции………………………………………………….3
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………………………………………………………..28
2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
Пусть у = f ( x ) непрерывна на отрезке [а, b]. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдется такая точка , что
Тогда либо х0 = а, либо х0 = b, либо . В последнем случае точка является критической точкой. Предположим, что критических точек у функции f ( x ) на [а, b] имеется лишь конечное число . Тогда
.
Аналогично,
.
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции на отрезке [а, b] достигается или в критической точке, или нам концах отрезка. Для определения наибольшего (наименьшего) значения функции надо вычислить значения во всех критических точках на отрезке [а, b], значения , функции на концах отрезка и выбрать наибольшее (наименьшее) из полученных чисел.
При нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций используется свойство:
Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция непрерывна и имеет только одну точку экстремума и если это точка максимума (минимума), то в ней функция принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом интервале.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 3].
Решение. Найдем производную функции и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:
.
Так как , а , то найдем значение производной в критической точке и на концах отрезка:
;
;
.
Следовательно, , .
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; e].
Решение. Найдем производную функции
и приравняем её к нулю для нахождения критических точек:
.
Так как ни одна из критических точек не принадлежит заданному отрезку[1; e], то наибольшее и наименьшее значения функции находятся на концах отрезка. Вычислим и :
, .
Следовательно, , .
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Решение. Используя формулу тригонометрии,
,
представим функцию в виде
.
Из записи функции видно, что функция чётная и имеет период .
Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции достаточно искать среди экстремумов функции на отрезке .
Найдем производную :
.
На отрезке производная обращается в нуль в точках
.
Найдем значения функции в этих точках:
;
;
;
.
Следовательно,
, .
Пример. Число 100 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
Решение. Пусть х – первый множитель, тогда – второй множитель. Сумма этих чисел х + . По условию задачи х > 0. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция принимает наименьшее значение на интервале .
Найдем производную функции
и приравняем её к нулю для нахождения критических точек:
.
На интервале имеется только одна стационарная точка . При переходе через точку производная меняет знак с « – » на « + », поэтому точка является точкой минимума и в ней функция принимает наименьшее значение (на основании свойства непрерывной функции).
.
Таким образом, 10 – первый множитель, – второй множитель.
Следовательно, 100 = 10 10.
Пример. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м 2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим сторону основания через х, а высоту через у. Тогда объем бассейна будет равен , по условию задачи
.
Облицовываемая поверхность бассейна S состоит из поверхности стен и дна, т. е.
.
Выразим из соотношения величину у: и подставим её в формулу
.
Получим функцию
,
определённую на промежутке .
Найдем производную функции
и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:
.
При переходе через точку производная меняет знак с « – » на « + », поэтому точка является точкой минимума и в ней функция принимает наименьшее значение (на основании свойства непрерывной функции).
Так как , то
.
Следовательно, искомые размеры бассейна и , при которых на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Пример. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого расположена на перпендикуляре к плоскости круга, проходящем через центр, выражается формулой
,
где а – радиус круга; х – расстояние от центра круга до магнита ; С – постоянная величина. При каком значении х величина F будет наибольшей?
Решение. Найдем производную функции
и приравняем её к нулю для нахождения критических (стационарных) точек:
.
Так как , то функция
имеет единственную стационарную точку .
При переходе через точку производная меняет знак с « + » на «– », поэтому точка является точкой максимума и в ней функция принимает наибольшее значение (на основании свойства непрерывной функции).
Следовательно, при величина F будет наибольшей.
Упражнения
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 4].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .
Найти наибольший объем конуса, образующая которого l.
Найти наибольший объем цилиндра при данной боковой поверхности S.
На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24 м. (Освещенность точки обратно пропорциональна расстоянию от источника света.)
Если источником тока служит элемент, то эффект Р (вт), получающийся при включении в цепь сопротивления W (ом), выражается формулой , где E (в) – электродвижущая сила, (ом) –– внутреннее сопротивление. Найти наибольший эффект, который можно получить при данных Е и .