2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба

Пусть у = f (x) дифференцируема на (а, b). Тогда в любой точке (х, f (х)) графика функции у = f (x), , существует касатель­ная.

Определение. График функции у = f (x) называется выпук­лым вниз (или вогнутым вверх) в промежутке (а,b), если соот­ветствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги.

Определение. График функции у = f ( x) называется выпук­лым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (а,b), если соот­ветствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги.

Теорема. Пусть у = f (x) имеет на (а, b) конечную вторую про­изводную. Тогда:

1. f" (х) > 0, график f (x) имеет на (а, b) выпук­лость, направленную вниз;

2. f" (х) < 0, график f (x) имеет на (а, b) выпук­лость, направленную вверх.

Определение. Точка (с, f (c)) графика, функции f (x) называ­ется точкой перегиба, если на (а, с) и (с, b) кривая у = f (x) имеет разные направления выпуклости ((а, b) — достаточно ма­лая окрестность точки с).

Теорема (необходимое условие перегиба). Если кривая у = f (x) имеет перегиб в точке (с, f (c)) и функция у = f (x) имеет в точке с непрерывную вторую производную, то f" (с) = 0.

Замечание 1. Необходимое условие перегиба не является до­статочным. Например, если рассмотреть функцию у = x ⁴, с = 0.

Замечание 2. В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Теорема (первое достаточное условие перегиба).

Пусть у = f (x) имеет вторую производную на (а,b), содержащем с, f" (с) = 0. Если f" (x) имеет на (а, с), (с, b) разные знаки, то (с, f (c)) — точка перегиба графика f (x).

Теорема (второе достаточное условие перегиба).

Если у = f (x) имеет в точке с конечную третью производную и f" (с) = 0, а f'" (с) ≠ 0, тогда (с, f (c)) — точка перегиба графика f (x).

Пример. Исследовать направление выпуклости графика функции .

Решение. Находим производные первого и второго порядков функции :

, ,

откуда при .

Следовательно, на интервале ; на интервале . Знак второй производной определяет направление выпуклости в данных интервалах.

Это позволяет составить следующую таблицу

		х
		Знак	—	+
		Направление выпуклости

Найдем значение функции в точке :

.

Поскольку при переходе через точку с абсциссой вторая производная меняет знак, точка (1; 3) является точкой перегиба.

Таким образом, при кривая выпукла вверх, при кривая выпукла вниз, точка (1; 3) – точка перегиба.

Пример. Исследовать направление выпуклости графика функции .

Решение. Находим производные первого и второго порядков:

, .

Составим таблицу

	х
	Знак	+	—	+
	Направление выпуклости

Найдем значения функции при

и :

Поскольку при переходе через точки с абсциссами и вторая производная меняет знак, точки и являются точками перегиба.

Таким образом, при кривая выпукла вверх, при кривая выпукла вниз, точки и – точки перегиба.

Пример. Исследовать направление выпуклости графика функции .

Решение. Находим производные первого и второго порядков функции :

, .

не обращается в нуль ни при каких значениях х и не существует в точке . Точка с абсциссой не может быть точкой перегиба, так как в этой точке кривая имеет разрыв (разрыв бесконечный).

Составим таблицу

		х
		Знак	—	+
		Направление выпуклости

Таким образом, при кривая выпукла вверх, при кривая выпукла вниз, точек перегиба нет.

Пример. При каких значениях а кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой оси.

Решение. Находим производные первого и второго порядков функции :

, .

Кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой оси, если для всех значений х, т. е. когда

при всех х.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был меньше либо равен 0:

.

Следовательно, при кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой оси.

Упражнения.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующих функций

1. ;	2.
3. ;	4. ;
5. ;

7. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, b, с, чтобы кривая имела точки перегиба?