2.4. Понятие гарантированно минимальных свойств прочности

В справочниках по механическим характеристикам [112, 113] приведены гарантировано минимальные свойства. Для вероятностного расчёта необходимы данные о разбросе свойств. Одному и тому же уровню доверия и значению минимальных свойств, могут соответствовать различные законы распределения (рисунок )

Рисунок 15. Законы распределения, с одним и тем же значением минимальных свойств.

Понятие гарантированно минимальных свойств используется в нормативных документах, регламентирующих качество материала, например [108]. Согласно этим документам, в части обработки статистических данных, не регламентируется способ получения минимальных свойств, а регламентируется метод испытания, требования к образцам и пр. [109, 110]. Объём выборки, по которому определяются свойства материала, согласовывается с заказчиком и не регламентирован, хотя в [110, 111] встречаются ограничения на минимальное число испытаний для определения среднего значения предела прочности, предела текучести, предела пропорциональности и модуля Юнга (от 2 до 5). Ограничения на разброс существуют только для некоторых механических характеристик, задаются в виде интервала, без указания уровня доверия.

Существует два подхода к определению минимальных свойств: минимальное значение из представительной выборки или её статистическая обработка, аппроксимация эмпирической функции распределения теоретическим законом, назначение уровня доверия и определение минимальных свойств соответствующее уровню доверия.

Нормативная вероятность разрушения должна зависеть от выбранного уровня доверия. Чтобы определить закон распределения характеристики прочности материала нужно составить два условия, из которых можно найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение характеристики прочности (если закон распределения двухпараметрический). Такими условиями для нормального распределения являются:

(21)

где и - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение характеристики прочности, соответственно,

- нормативное значение минимальных свойств;

- коэффициент вариации, для сталей и сплавов 0,02…0,1;

– коэффициент, зависящий от уровня доверия: при уровне доверия 95%, , при 99,7% .

Если считать, что минимальные свойства были получены в результате статистической обработки, то коэффициент определяется из уровня доверия.

Если под минимальными свойствами понимать минимальное из выборки объёмом N, то можно связать с N. Эта связь нигде не встречалась и была получена автором, поэтому приводится полный вывод.

Если случайная величина z распределена по закону распределения f(z), то вероятность того, что минимальное значение из выборки случайных величин z объёмом N меньше x, можно найти по формуле:

(22)

Функция плотности распределения g(x) минимальных значений x из выборок объёмом V, равна по определению:

(23)

Преобразовывая (23), получаем:

(24)

Найдём наиболее ожидаемое значение x, то есть моду. Дифференцируя (24) по x, получаем уравнение:

(25)

Преобразуя (25), и приняв, что f(z) – нормальный закон распределения, получим:

(26)

Сделаем замену:

(27)

Выражение (26) с учётом (27), преобразуется к виду:

(28)

где N – объём выборки;

- функция Лапласа;

– параметр.

График полученной зависимости приведен на .

Рисунок 16. Зависимость коэффициента от числа испытаний N, для нормального распределения.

Значение коэффициента вариации в условии (21), отражает уровень соблюдения технологии, её постоянства. Эта величина должна быть нормированной и отражать средний технологический уровень производства в какой-либо отрасли промышленности, например, как для бетонов [114]. Эта величина является определяющей в ответе на вопрос, какая вероятность разрушения соответствует нормативному коэффициенту запаса, поэтому целесообразно получить величину вероятности разрушения от коэффициентов вариации механических свойств. Таким образом, в расчёте явно учитывается влияние качества технологических процессов на надёжность объектов.

При расчёте на долговечность, когда время до разрушения случайно при фиксированной нагрузке ( ) (нормальный закон), условие (21) можно переписать в виде:

(29)

где математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации долговечности;

a – константы материала.

Условие (29) записано в предположении линейной зависимости математического ожидания долговечности от нагрузки, оно может быть модифицировано в случае необходимости.