1.4.1. Подход Ржаницына

Подход Ржанцына [76] к оценке надёжности элемента системы является основой вероятностных расчётов на прочность, «физической» теории надёжности.

В общем случае, нагруженность объекта характеризуется напряжениями, возникающими в результате действия механических, тепловых или электромагнитных нагрузок. Прочность объекта характеризуется величиной напряжений, которые возникают в объекте под действием разрушающих нагрузок. Характеристики нагруженности и прочности случайны.

Рисунок 7. Совмещение кривых распределения нагрузки и прочности

Если законы распределения свойств материала и действующих нагрузок известны (рисунок ), то для определения вероятности разрушения Ржанициным [76] были предложены формулы:

(11)

где – вероятность разрушения;

– плотность распределения нагрузки;

– функция распределения нагрузки;

– плотность распределения свойств материала с учетом деградации;

– функция распределения свойств материала с учетом деградации;

– время.

Отметим, что в функции , , , в этих формулах предполагаются известными (детерминированными). При практической реализации этих формул в работах А.Р. Ржаницина предполагалось, что характеристики нагруженности и прочности распределены по нормальному закону.

Поскольку отказ элемента наступает только при достижении только одного предельного состояния, то общая формула для вероятности отказа имеет вид:

(12)

где – вероятность достижения i-го из k предельных состояний.

На практике, вид функций и не известен. Эмпирические законы аппроксимируются теоретическими. Существуют работы, в которых для и задаётся доверительный интервал, например [83].

1.4.2. Способы обработки статистических данных

Вероятностный расчёт на прочность начинается со статистической обработки экспериментальных данных, характеризующих свойства и нагруженность материала. В данном параграфе будет показана степень влияния способа обработки статистической информации на значение вероятности отказа.

Параметрические и непараметрические методы статистики

Под методами статистики обычно понимают множество критериев согласия, значимости и однородности, которые используются для проверки статистических гипотез о виде закона распределения, о принадлежности нескольких выборок одной генеральной совокупности и пр. Для детальных рассуждений остановимся более подробно на основных определениях.

Непараметрическая гипотеза - статистическая гипотеза, в которой нет предположений о конкретных значениях параметров закона распределения (например, закон распределения нормальный с параметрами, минимизирующими какое-либо критериальное выражение)

Параметрическая гипотеза - статистическая гипотеза, в которой выдвигаются предположения о значениях параметров закона распределения (например, закон распределения нормальный с ).

Для проверки статистических гипотез вычисляют некоторое критериальное выражение (другое название - "статистика"), которое характеризует различие между выдвинутой гипотезой и эмпирическими данными. Если выдвигаемая гипотеза верна и различия между аналитической и эмпирической функцией распределения случайны, то значения статистики случайны и подчиняются некоторому теоретическому закону распределения (заранее известному, определяемому выражением для статистики, объёмом выборки и пр.). Вычислив значение статистики, можно определить вероятность того, что несовпадения эмпирического и теоретического распределений случайны / не случайны.

Пусть распределение статистики, , - вероятности того, что различия между теоретическим и эмпирическим законом распределения случайны и не случайны, - вычисленное критериальное выражение.

(13)

Существуют работы [52, 54], в которых описана методика получения численно, применимая к любым видам гипотез, без ограничений на вид функции распределения случайной величины.

При проверке статистических гипотез выдвигают основную Н0 и альтернативную Н1 гипотезы. Нулевыми считаются гипотезы, утверждающие, что различие между сравниваемыми величинами отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются случайными отклонениями в выборках. Условием принятия Н0 служит выполнение неравенства

(14)

где - критический уровень значимости, определяемый лицом, принимающим решения.

Из (14) следует, что принятие или не принятие гипотезы Н0 зависит от эксперта, поэтому существуют рекомендации о том, что нужно приводить с результатами расчётов не только использованный , но и достигнутый уровень значимости , чтобы другой эксперт, мог судить о степени соответствия принятого теоретического закона эмпирическому.

Поскольку ответ о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону носит вероятностный характер, возможны ошибки при принятии / отверждении гипотез, которые характеризуются соответствующими вероятностями.

Вероятность ошибки первого рода - вероятность того, что при принятии гипотезы Н1 верно Н0.

Вероятность ошибки второго рода - вероятность того, что при принятии гипотезы Н0 верна Н1.

Эти понятия удобно свести в таблицу.

Таблица 2 – Распределение вероятностей при испытании нулевой гипотезы Н0 против альтернативной Н1.

Решение	Вероятность того, что...
	верна Н0	верна Н1
Принять Н0
Принять Н1

Гипотеза называется простой, если она утверждает, что параметры закона распределения принимают конкретные значения (например, математическое ожидание равно 0), сложной - если параметры принадлежат некоторому множеству (например, математическое ожидание больше 0).

В случае, если основная и альтернативная гипотезы простые, имеет место равенство:

(15)

Если хотя бы одна из гипотез сложная, то говорят о функции мощности критерия, в которой является функцией "меры разности", принимаемого закона и альтернативы из множества. Более подробно об этом будет сказано ниже.

Существуют некоторые правила и рекомендации, к тому, какую гипотезу называть основной и альтернативной [90]. Пусть имеются две гипотезы НА и НВ, одну из которых нужно принять в качестве основной, другую - в качестве альтернативной. Прежде чем сформулировать гипотезы Н0 и Н1 ЛПР, нужно проанализировать какие ошибки в принятии решений, приведут к более тяжёлым последствиям. Одну из гипотез (НА или НВ), ошибочное отклонение которой приведет к большему ущербу (и поэтому не желательно), эксперт назовет Н0, а другую - Н1. Такая формулировка затем позволяет выбрать нужный критический уровень значимости : чем выше уровень ответственности за вывод и тяжелее ущерб от ошибочного отклонения проверяемой гипотезы, тем меньшее значение приходится принимать. (Например, согласно этому подходу, следует определять в качестве Н0 гипотезу о том, что закон распределения имеет более "тяжёлые хвосты", которые увеличивают вероятность разрушения). Существует следующая таблица, связывающая и уровень ответственности эксперта за вывод.

Таблица 3 – Ориентировочные нормы для задания критического значения уровня значимости [90].

Уровень ответственности за вывод		Уровень значимости , если предпочтительна гипотеза:
Название уровня	Экспертная оценка уровня в баллах		Н1	Н0
Нижний предел	0		1	0
малый	1		0,6	0,00005
	2		0,4	0,001
	3		0,2	0,006
обычный	4		0,1	0,02
	5		0,05	0,05
	6		0,02	0,1
большой	7		0,006	0,2
	8		0,001	0,4
	9		0,00005	0,6
	10		0	1

Стоит отметить, что на практике не существует гипотезы о том, что распределение подчиняется нормальному закону (с какими-либо параметрами), формулируя гипотезу, прежде всего указывается либо конкретные значения параметров (простая гипотеза), либо область нахождения этих параметров [27], или способ их нахождения по эмпирическому распределению (сложная гипотеза). То есть основная и альтернативная гипотезы формулируются относительно параметров предполагаемого распределения. (Однако, возможно формулирование основной и альтернативной гипотез относительно разных законов, например, Н0 - нормальный закон с параметрами, минимизирующими статистику, Н1 - закон Вейбула, минимизирующими статистику).

Мощность статистических критериев

Функция мощности строится только, когда гипотезы формулируются относительно параметров закона распределения, причем вид закона для Н0 и Н1 одинаковый, в остальных случаях говорят об ошибке второго рода. Приводимое ниже описание процедуры [90] было найдено именно для такого случая: обобщения на случай, когда вид законов Н0 и Н1 различный не найдено, и по-видимому, понятие функции мощности для этого случая не существует.

Пусть - вектор параметров теоретического закона распределения. Примем, что основная гипотеза заключается, в том, что , а альтернативная - . Для построения функции мощности нужно задаться параметром нецентральности . Пусть - значит Н0 не верна. Критическая область параметра статистики u строится на основе плотности вероятности центрального распределения , группирующегося вокруг точки в предположении, что гипотеза Н0 справедлива. На самом деле, случайная величина u будет иметь нецентральную плотность распределения , группирующуюся вокруг точки (рисунок 8). Вероятность ошибки второго рода при попадании статистики в допустимую область характеризуется функцией и при выбранном зависит от статистики . Если , то и , при , . Зависимость также зависит от объёма выборки: если , то .

Ошибка второго рода - это значение функции мощности при простой альтернативной гипотезе: .

Рисунок 9 – Мощность критерия.

Важно отметить, что в работах, посвященных вопросам применения статистических критериев подчёркивается, что достоверно различить "близкие" гипотезы на малой выборке не возможно [51, 53]. Далее, приведён методический пример, иллюстрирующий эту особенность.

В связи с рассматриваемой темой, отметим, что доверительная вероятность, с которой аппроксимируется эмпирический закон распределения, не используется в выражении вероятности отказа (11).

Более подробно о методах непараметрической статистики [70].

Методический пример

Цель данного примера - наглядно показать, что близкие законы не различимы при малом объёме выборки, а вероятность отказа существенно зависит от применяемой аппроксимации эмпирических данных.

Постановка задачи: пусть имеются выборки случайных величин, характеризующих нагруженность L и прочность S одинакового объёма n=20. Эти выборки получены генератором случайных чисел по заданным теоретическим законам распределения. Теоретические законы L и S нормальные с параметрами и . Нужно аппроксимировать эмпирические функции распределения теоретическими законами: нормальным и Рэлея, определить доверительную вероятность аппроксимации, определить вероятность разрушения по (11), используя различные сочетания законов, сравнить результаты.

В таблице приведены величины L и S, которые были получены в результате генерации данных.

Таблица 4. Исходные данные

L	94.89	96.32	97.35	98.29	98.38	98.82	98.97	99.18	100.3	102.11
	103.01	104.28	104.81	104.91	105.85	106.39	108.56	108.59	108.76	110.15
S	129.76	130.37	131.71	134.44	134.61	136.2	136.73	136.86	137.71	138.94
	139.87	141.3	141.44	142.23	143.43	144.11	145.92	146.08	148.15	164.39

В качестве величины, характеризующей расхождение эмпирической и теоретической функции распределения, примем выражение вида:

(16)

где m и σ - параметры теоретических законов, V - отсортированный вектор случайной величины, F - функция распределения теоретического закона.

(17)

Параметры законов распределения были определены из условия минимизации (16) и представлены в таблице , эмпирическая и теоретические функции распределения приведены на рисунке :

Таблица 5. параметры теоретических законов

Величина	Теоретический закон (нормальный)	Нормальный закон	Распределение Рэлея
L
S

Рисунок 10. Аппроксимация эмпирических функций распределения L и S.

Аппроксимируя эмпирическую функцию распределения теоретическим законом, были выдвинуты гипотезы о виде функции распределения. Для определения вероятностей, с которыми гипотеза о распределении случайной величины по нормальному закону или закону Рэлею, может быть отвергнута, воспользуемся методом, изложенным в [53]. График зависимости F(U) был получен численно для рассматриваемых законов распределения и представлен на рисунке .

Рисунок 11. Функция распределения параметра U в зависимости от закона распределения.

Для функции распределения нагрузки L, вероятность того, что распределение не подчиняется нормальному закону 30% ( ), закону Рэлея - 15% ( ). Для функции распределения прочности S, вероятность того, что распределение не подчиняется нормальному закону 1% ( ), закону Рэлея - 3% ( ).

В таблице приведены значения вероятности разрушения в зависимости от сочетания законов, аппроксимирующих распределения нагрузки и прочности.

Таблица 6. Вероятности отказа в зависимости от сочетаний законов

Параметры законов распределения		Вероятность разрушения
Нагрузка (L)	Прочность (S)

Анализируя полученные результаты, можно отметить, что статистические критерии не позволяют различить различные законы распределения на небольшой выборке. В зависимости от принятых гипотез о видах закона распределения характеристик прочности и нагруженности, можно получить вероятности разрушения, отличающиеся на порядки. Это обстоятельство ставит под сомнение частотную интерпретацию вероятности отказа, полученную в условиях небольшого числа экспериментальных данных.

Коэффициент надежности

В [89, 58, 94, 107] встречается понятие коэффициента надёжности, как некоторого аналога коэффициента запаса, обеспечивающего некоторый уровень надёжности (рисунок ). В [89] дана математическая формулировка:

(18)

где и - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение функции плотности распределения прочности (strength), а и - нагрузки (load).

И в [89], и в [58] приводится зависимость, изображённая на рисунке , но не говорится о допущениях, при которых она была получена. Автором численно была получена зависимость вероятности отказа (11) от индекса надежности (18) (рисунок ) в предположении, что закон распределения функции прочности и нагруженности нормальный. Точки, соответствующие кривым из [89 и 58] находятся на полученной прямой. Таким, образом, можно заключить, что в качестве основной гипотезы, использующейся в [1, 14, 15, 16, 17] является гипотеза о нормальном распределении прочности и нагрузки, однако явно об этом не говорится.

Индекс надёжности позволяет получить оценку максимальной вероятности разрушения из предположения, что закон распределения в (11) для характеристик нагрузки и прочности - нормальный.

Рисунок 12. Сравнение полученной численно зависимости вероятности отказа от индекса надёжности с данными [58] и [89].

Вывод:

Одной из трудностей является получение оценки достоверности результата. Практика расчётов показывает, что достаточной статистической информации для эмпирических оценок частоты маловероятных событий нет [83]. Всегда применяется метод экстраполяции: замена эмпирического закона распределения случайной величины теоретическим. При аппроксимации эмпирического закона распределения, нужно использовать распределение с более "тяжёлыми хвостами" [100]. Аналогичным образом поступают при детерминированном расчёте на прочность, когда в расчёте компенсируют отсутствие данных повышенным коэффициентом запаса [99, 73, 68].

Экстраполяция в область малых вероятностей в случае использования различных законов распределения приводит к существенным различиям в результатах. Нормативных документов, связывающих метод расчёта на прочность и метод статистической обработки информации на сегодняшний день нет. Однако, удалось установить, что в зарубежных стандартах, оперирующих понятием индекса надёжности, подразумевают нормальный закон распределения и характеристики нагрузки, и характеристики прочности.