1.3. Определение вероятности отказа технической системы

В этом параграфе будут рассмотрены особенности вычисления вероятности отказа при представлении конструкции в виде системы взаимосвязанных элементов. Существует ряд работ [26, 25, 85, 44], посвященных критике [65]. Эти работы относятся к усовершенствованию методов структурной теории надёжности и содержат ошибки, на которые нужно обратить внимание.

1.3.1. Особенности вычисления вероятности отказа систем элементов, соединенных последовательно и параллельно

На рисунке представлена схема с общим резервированием. Зная параметр потока отказов для всех элементов системы, требуется определить вероятность отказа системы за 1 час. Параметр потока отказов для всех элементов одинаков и равен .

Рисунок 2. Схема системы с общим резервированием.

Согласно [26], вероятность отказа системы от времени определяется выражением:

(4)

где – вероятность отказа, t – время.

График зависимости (4) представлен на рисунке .

Рисунок 3. Вероятность отказа рассматриваемой системы от времени.

Далее, согласно [26], вероятность отказа за час равна функции плотности времени отказа (рисунок ).

Рисунок 4. Функция плотности времени отказа рассматриваемой системы.

Далее, согласно [26], говорится о противоречии: параметр потока отказов элементов постоянен, а поток отказов систем из этих элементов нет (рисунок ). Далее Бойко О.Г. и Шаймарданов Л.Г. приходят к выводу, что вероятность отказа за короткий промежуток времени не зависит от наработки системы, поэтому в выражении (4) вместо t нужно использовать  - временной промежуток, на котором определяется вероятность отказа системы (1 час, 1000 часов и тд.).

В [26] отмечается, что формула (4) не верна, так как она подразумевает выход из строя всех параллельных «веток» системы одновременно, чего не может быть, но исправления в рассуждения не вносятся.

Остановимся более подробно на ошибках в рассуждениях статей [26, 25, 85, 44]. Вероятность отказа системы, состоящей из n последовательно соединённых элементов:

(5)

где – плотность распределения потока отказов для i-го элемента от времени.

Для рассматриваемой задачи, где вероятность отказа определяется выражением:

(6)

Последовательное соединение элементов подразумевает выход из строя системы, если хотя бы один элемент этой системы отказал. Из условия, что процесс выхода из строя элементов системы мгновенен во времени, следует, что вероятность выхода из строя нескольких элементов одновременно равна нулю. Поэтому вероятность отказа системы определяется вероятностью отказа одного элемента, умноженной на число элементов в системе (справедливо только в случае, когда потоки отказов элементов системы одинаковые).

Поток отказа каждой «ветки» системы, изображённой на рисунке , определяется следующим образом:

(7)

где n – число последовательно соединенных элементов (n=4).

При параллельном соединении элементов, продолжительность работы всей системы определяется максимальной продолжительностью работы одного из элементов системы. Если случайная величина имеет распределение , то вероятность того, что максимальное значение из выборки объёмом N больше некоторого х, определяется выражением:

(8)

Плотность распределения максимальных значений из выборок объёмом N, подчинена зависимости:

(9)

Для рассматриваемой задачи, g , поэтому выражение (9) принимает вид:

(10)

где - поток отказа системы; - число параллельных соединений (m=4).

Предположение о том, что если система состоит из элементов с постоянными потоками отказа, то и система имеет постоянный поток отказа, верно только для систем, состоящих из последовательно соединенных элементов.