Теорема косинусов. Формула Герона. Решение треугольников

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 85

§ 2. Теорема косинусов. Формула Герона. Решение треугольников

1. Теорема косинусов. В данном параграфе докажем теорему, которая связывает длины трех сторон треугольника и косинус одного из его углов. Эта теорема называется теоремой косинусов и форму­лируется следующим образом.

Теорема 1 (теорема косинусов). Квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство.

Рис. 72

1. Пусть отрезок СН — высота тре­угольника ABC с острым углом Л, АС = Ь, СВ = а, АВ = с (рис. 72).

2. В прямоугольном треугольнике АСН катет СН= b sin Л, катет АС = b cos Л. Тогда длина отрезка ВН= с — bcosA.

3. Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике СВН: СВ² = СН² + ВН² или а² = (Ь віпЛ)² + (с — b cos A f. Отсюда полу­чаем а² = б² sin² Л + с² — 26с cos² Л + б² cos² Л

или а² = Ь² + с² — 26с cos Л, так как б² sin² Л + б² cos² Л = Ь².

Нетрудно доказать, что формула верна и в случае, когда угол Л тупой. В этом случае проведите доказательство самостоятельно.

Если угол Л прямой, то теорема косинусов представляет собой тео­рему Пифагора а² = Ь² + с², так как в этом случае cos Л = cos 90° = 0.

Теорема доказана.

Аналогично квадраты длин сторон бис выражаются соответственно формулами Ь² =а² + с² — 2accosB и с² = а² + b² — 2abcosC.

Задача 1. Пусть ABC — треугольник, АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. Докажите, что угол, лежащий против стороны ВС, равен 60°.

Доказательство.

По теореме косинусов верно равенство ВС² = АВ² + АС²— — 2АВ ■ ЛСсовЛ. Следовательно, 49 = 25 + 64 — 2 • 5 • 8совЛ. Отсюда

Значит, ZA = 60°.

находим, что cosA

2

Что и требовалось доказать.

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

86

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 87

Скачено с Образовательного

Задача 2. В параллелограмме биссектриса тупого угла, равного 120°, делит сторону параллелограмма на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины острого угла. Вычислите длины биссектрисы и большей диагонали параллелограмма.

Д ано: ABCD — параллелограмм, BF — биссектриса, AF = 3 см, FD = 2 см, ZABC = 120° (рис. 73, а, б). Найти: BF и АС.

а) б)

Рис. 73 Решение.

1. Рассмотрим треугольник ABF. Так как BF — биссектриса и ZABC = 120°, то ZABF = 60°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, следовательно, Z BAF = 60°. Таким образом, в треугольнике ABF каждый угол равен 60°, т. е. этот треугольник — равносторонний и BF = AF = AB = 3 см.

2. Для вычисления длины диагонали АС воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике ABC по теореме косинусов можем запи­сать АС² =АВ² + ВС² — 2АВ ■ ВС cos 120°. Так как по условию задачи

ВС = 5 см, то АС² = З² + 5² — 2 • 3 • 5 cos 120°. Так как cos 120° = —,

2 то отсюда находим, что АС = 7 см.

Ответ: 3 см, 7 см.

Теорема косинусов позволяет доказать ряд утверждений, которые полезны при решении многих задач. Докажем некоторые из таких утверждений.

^х^2І^іг

Задача 3. Докажите, что если a, b и с — длины сторон треу­гольника ABC, то длины его медиан т_а, т_ь и т_с могут быть найдены

1л/26Ч2?

2

-а , тп_ь =

m

2

по формулам т_а = ^2а²+2Ь*-с?

Доказательство.

Докажем, например, первую формулу.

	:■,-^r'-^-■:-г■^,:■,v■^/vl"^^^■	■
	Я^Шіг+ІЬ'-с^1
■і-^:Ч^:^-л^-"-^
:': ■:;^1.';"^;' ?' ■: V h А - '.''■ ^;-L-;'^!-£/
^:-*&Щ£У\*
■-• , ■' ^L"; [jCJ*^ TtAV'"'*^!'■
Vї!.іЛ-'^^г^\. ^і" ■■"■'■■■'
^щ^^^\ЗИ
■^^Ш^^т^^^ГІ
. .... .. ."..'..:... .... V-

а)

в)

б) Рис. 74

Применим теорему косинусов к треугольнику ABF, в котором

, г, г, г- 1 г- лпг-

АВ = с, Вг = a, At = m_a. По теореме косинусов в треугольнике АВг

a

2

cos B. По теореме косинусов

2 9 , ^а о

можем записать т„ = с + —2с

2

Таким образом, по-Отсюда

2 2,2

а + с -о

4

2ac

a 4

2 2,2

а + с -о

26²+2с²-а²

из треугольника ABC имеем cos B

2с

лучаем т²_а = с² +

4

2ac

1 /7Г7І 7Г~2 5" следует, что т_а =\J2b +2c -а . Аналогично доказываются две

2 другие формулы (рис. 74, а, б, в). Заметим, что при доказательстве указанных формул можно воспользоваться следующей задачей.

Задача 4. Пусть d_lи d₂ — длины диагоналей параллелограмма, а и b — длины его сторон. Докажите, что сумма квадратов длин диаго­налей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон, т. е. df + d\ = 2 (а² + b²).

Доказательство.

Пусть АС = d_l, BD = d₂ — диагонали параллелограмма ABCD и АВ = а, ВС = Ь, Z BAD = а (рис. 75).

По теореме косинусов в треугольнике ABD справедливо следующее равенство dl = а² + Ь² — 2ab cos а (1).

Рис. 75

По теореме косинусов в треугольнике ABC выполняется равенство df = а² +

портала www.adu.by

88

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 89

и

+ о² — 2ab cos (180° — a) = a² + b² + 2ab cos a (2). Складывая равенс­тва (1) и (2) почленно, получаем d\ + d\ = 2 (a² + о²). Что и требовалось доказать.

2. Формула Герона. Теперь докажем справедливость форму­лы, которая названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского.

Теорема 2 (формула Герона). Площадь любого треугольника можно най­ти по формуле S = yjp(p—a)(p — b)(p — c), где a, b и c — длины сторон треуголь-

a + b + c

ника, а p = — его полупериметр

2 (рис. 76).

Рис. 76

Доказательство. По теореме косинусов верно равенс­тво: а² = Ь² + с² — 2ос cos Л (1). Так как

площадь треугольника .Ь = —ос sin Л, то 4S = zbc sm А \2). Из

,2 2

равенств (1) и (2) получаем соответственно cos A

О +С

2bc

_(Ч^

AS

AS

+

sin A

=. Так как sin² Л + сов²Л = 1, то 26с 2Ьс

1.

22

ный треугольник, если центр O полукруга принадлежит стороне AB (рис. 77, а).

Дано: ААВС, АВ = с, ВС = а, АС = Ь, О — центр вписанного полу­круга. Найти: г.

б)

а)

Рис. 77

Решение.

1. Пусть K и E — точки касания полукруга со сторонами AC и CB соответственно. Соединим центр O с точками K, C и E (рис. 77, б).

2. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ка­сательной, значит, OK и OE являются высотами треугольников AO C и BOC соответственно. Площадь S треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AO C и BOC. Следовательно,

= —(AC + ВС) = —(а + о).

S_ABC = — AC ■ UK + — ВС ■ (Jt

2 2

Отсюда 16S² = 46²c² — (б² + с² — a²)².

Используя формулу разности квадратов, преобразуем правую часть полученного равенства следующим образом:

46²с² — (б² + с² — а²)² = (26с + б² + с² — а²) (26с — Ь² — с² + а²) =

= ((о + с)² — а²) (а² — (о — с)²) =

= (о + с + а) (Ь + с — а) (а + о — с) (а — о + с) =

= 2jD (2jD — 2a) (2jD — 2c) (2p — 2b) = I6p (p — a) (p — b)(p — c).

Следовательно, 16S² = I6p (p — a) (p — b) (p — с), или S =

= yj p(p - a)(p -b)(p - c).

Теорема доказана.

Проиллюстрируем возможность применения формулы Герона при решении задачи.

Задача 5. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС равны с, а и о соответственно. Найдите радиус полукруга, вписанного в дан-

Скачено с Образовательного

АВС

а + Ь

Отсюда получаем, что r

3) По формуле Герона S_ABC = ^р(р-а)(р-Ь)(р-с). Таким обра-

2 I— — — -

зом, г= ■yjp(p — a)(p — b)(p — c).

а + Ь

2 I— — —

Ответ: yj р(р - а)(р - Ь)(р - с).

а + Ь

3. Решение треугольников. Решить треугольник — значит по трем его элементам найти другие его элементы. Приведем примеры задач на решение треугольника.

Задача 6 (нахождение элементов треугольника по двум сторонам и углу между ними). Даны две стороны а и о тре­угольника и угол С между ними. Найдите третью сторону и два других его угла (рис. 78).

портала www.adu.by

90

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 91

Решение.

1. По теореме косинусов находим сто­рону с = уа² +У² -2abcosC .

2. Зная сторону с, по теореме синусов

а с теперь можем записать = .

sin A sin С

. asinC

Отсюда находим sin Л = .

с

3) Зная sin Л, находим угол Л, а затем

Рис. 78

asinC

находим Z В = 180° — (ZA + Z С).

О т в е т:

Z В = 180°

с = yja² + b² - 2abcosC , sin A

С

(ZA + Z С).

Задача 7 (нахождение элементов треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам). Дана сторона ВС = а тре­угольника ABC и два прилежащих к ней угла В и С (рис. 79). Най­дите угол А и стороны АВ и АС.

Решение.

1. Находим ZA = 180° — (ZB + ZC).

2. По теореме синусов имеет место ра-

а Ь

Отсюда находим, что

венство

ь

sinA sinB

3) Аналогично по теореме синусов ^{a c} Отсюда c ^asinC

Рис. 79

sin A

sin A

sinA sinC

Ответ: ZA = 180° — (Z В + Z С) , АВ = , АС= .

sin A sin A

Задача 8 (нахождение элементов треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них). Даны две стороны а и b треугольника и угол А. Найдите неизвестные углы треугольника и третью сторону.

Решение.

b a

Отсюда

1) Найдем синус угла B. По теореме синусов

bsin A

sinB sinA

находим sin B

a

. Если sin В < 1, то задача имеет решение, если

Скачено с Образовательного

sin В > 1, то задача не имеет решения. Возможно, что задаче удовлет­воряет два значения угла, т.е. задача имеет два решения.

2) Теперь можем найти ZC = 180° — (ZB Л- ZA).

„ с6

6) Найдем сторону с. По теореме синусов = . Отсюда

sin С sin В b sin С

находим c

sin В

n b sin A „ . ₀„₀ / , у b sin С Ответ: sine = , Z С = loU — (ZB + ZA), c = .

a sin В

b² + c² -a²

Задача 9 (нахождение углов треугольника по трем сторо­нам). Даны стороны a, b и с треугольника ABC. Найдите углы этого треугольника.

2сЬ

1) По теореме косинусов находим cos Л

2) Синус угла B найдем по теореме синусов: sin B

bsin A

3) Теперь находим ZC = 180° — (ZA + ZB).

b sin A

Ответ: cos A = ^{b2 +c2 -a2} , sin B

a

C = 180° — (ZA + ZB).

a

2cb