Глава 3

Правильные многоугольники

103

равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. он равен OF_x. Следовательно, окружности со и со ₁ совпадают.

Теорема доказана.

Центром правильного многоугольника называется центр его вписанной и описанной окружностей.

4. Выражение элементов треугольника через радиус вписан­ной или описанной окружностей. Пусть S — площадь правильного «-угольника, а_п — его сторона, Р — периметр, а г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

1) Площадь S правильного п-угольника, описанного око­ло окружности, можем найти через периметр Р и радиус г вписанной окружности по формуле S = Рг.

■• 1-._'.г' 1 :		;.-.'.
lS=\Pr		.-'■-■
mi m №	s	|	Щ
	и ■		n

б)

а)

Рис. 85

Соединим центр О правильного многоугольника с его вершинами

(рис. 85, а). Тогда многоугольник разбивается на п равных треуголь-

1 ников, площадь каждого из которых равна —а_пг. Следовательно,

ill 2

1 1 , . 1 „ S = п ■а_пг=\,па_п) г=Рг.

2 2 2

Что и требовалось доказать.

2) Сторона а_п правильного п-угольника выражается через

радиус г вписанной окружности по формуле а_п = 2r tg .

п

360°

Соединим центр многоугольника с вершинами А₁ иА₂ и проведем высоту OF равнобедренного треугольника ОА_хА₂ (рис. 85, б). Так как

В равнобедренном

п

многоугольник правильный, то АА_хОА<^

треугольнике OA ₁A₂ высота OF, проведенная к основанию, явля-Скачено с Образовательного

Таким образом,

ется биссектрисой, следовательно, AA_xOF

180°

180°

180°

п

a_n = A_lA₂ = 2A_lF = OA_xig

п

2r tg

п

Что и требовалось доказать.

1

180°

180°

Так как ,b =Рг и a_n = zr tg , то площадь S = nr tg

2 я п

3) Сторона а_п правильного п-угольника выражается через

n n 180°

радиус Ч описанной окружности по формуле а_п = 2/csin

б)

а)

Рис. 86

180°

Пусть OF — высота равнобедренного треугольника OA ₁A₂

В прямоугольном

(рис. 86, а). Тогда ZA_{OF =—ZA_{OA₂

2

180°

„ . 180° Т

Psm . аким обра-

треугольнике A_xFO катет A_lF = OA_lsin

1 О^П П П

„ . „ or. 18U

зом, a_n = ZA_xt =z/<sin .

n Что и требовалось доказать.

Для правильного треугольника (п = 3), квадрата (п = 4) и правильного шестиугольника (п = 6) получаем соответственно формулы: a₃ = Ryj3; a₄ = v2; а₆ = R.