Теория вероятностей

Вариант №11

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.

3. Завод выпускает определенного вида изделия; каждое изделие может иметь дефект, вероятность которого равно p. После изготовления изделие осматривается последовательно тремя контролерами. Первый контролер обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью p₁, второй – с вероятностью p₂, третий – с p₃. B случае обнаружения дефекта изделие бракуется. Определить вероятность того, изделие будет забраковано.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности безотказной работы элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,6, 0,9, 0,7 и 0,8. Найти вероятность безотказной работы (т.е. не будет разрыва цепи), если элементы работают независимо друг от друга.

5. Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 10ч20мин и 10ч40мин. Пришедший первым ждет другого в течение 5 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?

6. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

7. Имеются три партии деталей по 25 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 15, 10 и 5. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

8. Партия содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

9. Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 6% ошибок Аудитор случайно отбирает 7 входящих документов. а) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку. б) Чему равна вероятность того, что аудитор обнаружит? в) Чему равна вероятность того, что аудитор не обнаружит ошибок? г) Чему равно ожидаемое число ошибок?

10. Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 90 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.

11. Кандидат на выборах считает, что 30% избирателей в определенной области поддерживают его избирательную платформу. Если 55 избирателя случайно отобраны из большого числа избирателей данной области, оцените вероятность того, что отобранная доля избирателей, поддерживающих кандидата, не будет отличаться от истинной доли более, чем на 0,06.

12. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий ОТК берет из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Случайная величина – число изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1

а) Найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4, включительно. б) Составить функцию распределения. в) Рассчитать ожидаемое среднее число машин, продаваемых ежедневно, а также дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.

6. Плотность непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти параметр a, функцию распределения F(x), M[2X²–4X–1], коэффициент вариации [10–3X], вероятность P(1/4<X<1) и медиану.

5. Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением =560 и неизвестным математическим ожиданием a. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 10500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

6. 30% изделий некоторого предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 20 изделий, изготовленных на этом предприятии. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта, вероятность этого числа изделий, математическое ожидание и дисперсию числа изделий.

7. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна 0,01. Считая применимым закон Пуассона, вычислить сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью 0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз.

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,003 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 800 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет равномерное распределение R(0).

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–1	0	1
–1	1/8	1/12	7/24
1	5/24	1/6	1/8

Найти: а) M[X], D[X]; б) M[1–2Y], D[1–2Y]; в) коэффициент корреляции (X,Y); г) M[X–2Y], D[X–2Y].

5. С помощью характеристической функции найти центральный момент первого порядка ₁ и математическое ожидание для ²-распределения ²(k).

Типовой расчет