Теория вероятностей

Вариант №14

1. Докажите, что .

2. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

3. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности выхода из строя элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,2, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы работают независимо друг от друга.

5. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

6. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,89, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,65, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,27. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

7. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

8. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.

9. По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 75% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 12 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?

10. В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.

11. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

12. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Случайная величина – число станков, которые не потребуют внимание рабочего в течение часа. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:

xi	9	10	11	12	13	14	15
pi	0,05	0,15	0,30	0,20	0,15	0,10	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?

5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=2, x₂=4, x₃=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=0,4 и ее квадрата M[X²]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.

6. Найти функцию распределения для распределения Лапласа

.

его моду, медиану и вероятность P(a–3≤X< a+3), .

5. Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 420 г². Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 320 г. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.

6. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 30%. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 134?

7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна 150. Берется на пробу 2 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

8. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть =4 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования состава больше 10 мин, но меньше 25 мин.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет нормальное распределение N(a).

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–1	0	1
–1	1/8	1/12	7/24
1	5/24	1/6	1/8

Найти: а) одномерное распределение случайных величин X и Y; б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, XY); в) одномерное распределение случайных величин X+Y и XY; г) коэффициент корреляции (X,Y).

5. Пусть X и Y – независимые одинаково распределённые случайные величины с характеристической функцией (u). Найти характеристическую функцию случайной величины .

Типовой расчет