Теория вероятностей

Вариант №4

1. Докажите, что P(AB) = 2P(A+B)–P(A)–P(B), где AB = (A–B)+(B–A).

2. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2<k<N); б) на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом – меньшее чем k.

3. Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности выхода из строя элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,3, 0,2, 0,1 и 0,2. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы работают независимо друг от друга.

5. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов находится между 8 и 10 ч, причем моменты прихода для обоих пароходов равновероятны и независимы в течение указанного промежутка. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 20 мин, а второго – 30 мин.

6. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые Вы использовали при решении задачи.

7. Имеются две урны: в первой находится 4 красных и 3 синих шара, во второй – 5 красных и 2 синих шара. Из первой урны во вторую случайным образом перекладывают два шара. После этого из второй урны берут четыре шара. Найти вероятность того, что синих и красных шаров будет одинаковое число.

8. За один цикл автомат изготавливает 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01?

9. В отдел верхней одежды универмага один за другим входят семь посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. а) Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? б) Чему равна вероятность того, что один из посетителей что-нибудь купит? в) Чему равна вероятность того, что более половины посетителей что-нибудь купят? г) Чему равно ожидаемое среднее число покупателей? д) Чему равно наивероятнейшее число покупателей?

10. Монету бросают 300 раз. Найти вероятность того, что герб появится: а) ровно 150 раз; б) больше 135, но меньше 145 раз.

11. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. при наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной p=0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

12. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Случайная величина – число испытанных приборов. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт, – случайная величина X, заданная так:

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,2	0,4	0,1	0,1	0,1

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Используя функцию распределения, определите вероятность того, что в заданный день прибудет от 1 до 4 грузовых судов (включая 1 и 4). г) Если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы в заданный день? д) Чему равна вероятность того, что в какой-то определенный день число прибывающих судов превысит ожидаемое среднее?

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,4 и дисперсию D[X] = 3,84.

6. Определить, может ли функция

быть функцией распределения какой-либо случайной величины? Если да, то найти плотность f(x), M[X], вероятность P(1≤X<2,5), а также квантиль .

5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Масса коробок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией равной 30 г. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Найдите ожидаемую массу случайно выбранной коробки?

6. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Сколько ему нужно сделать бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 4?

7. Случайная величина X – число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени t, – подчиняется распределению Пуассона с параметром  ( – среднее число электронов, испускаемых в единицу времени). Определить вероятность того, что за время t₀ число испускаемых электронов будет меньше 5.

8. Время t безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону параметром =0,009 ч^–1. Найти вероятность того, что прибор проработает более 200 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если Y=1/(4+X²), где случайная величина X имеет распределение Лапласа La(a,).

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–2	0	2
–2	0,1	0,2	0,1
1	0	?	0,3
2	0,1	0	0

Найти: а) одномерное распределение случайных величин X и Y; б) совместное распределение случайного вектора (X+Y, X/Y); в) одномерное распределение случайных величин X+Y и X/Y; г) коэффициент корреляции (X,Y).

5. С помощью характеристической функции найти дисперсию D[X] для ²-распределения ^(k).

Типовой расчет