Теория вероятностей

Вариант №7

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество .

2. Урна содержит шары с номерами 1, 2, ... , n. Из нее k (kn) раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют строго возрастающую последовательность.

3. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга m радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности безотказной работы элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,6, 0,9, 0,7 и 0,8. Найти вероятность безотказной работы (т.е. не будет разрыва цепи), если элементы работают независимо друг от друга.

5. Окно защищено решеткой, сделанной из стальных прутьев диаметром 1 см. Прутья делят все пространство окна на квадраты, расстояние между прутьями 10 см. Кто-то бросил в окно камень диаметром 4 см. Какова вероятность, что камень пролетит сквозь решетку, не задев прутьев?

6. Для рыночного исследования необходимо проведение интервью с людьми, которые добираются на работу общественным транспортом. В районе, где проводится исследование, 75% людей добираются на работу общественным транспортом. Если три человека согласны дать интервью, то чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них добирается на работу общественным транспортом?

7. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 0,3 и 0,4.

8. Партия содержит 3% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,99?

9. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,75. Найти вероятность того, что при 80 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 65 раз; б) не менее 55 и не более 70 раз.

11. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

12. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,15. Для проверки качества изготовляемых изделий ОТК берет из партии не более 5 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Случайная величина – число изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):

xi	–2000	–1000	0	1000	2000	3000
pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,1 и дисперсию D[X] = 1,89.

6. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти параметр a, функцию распределения F(x), математическое ожидание M[–6X+2], асимметрию ₁, вероятность P(0<X<0,2).

5. Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением =410 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 9560. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

6. 25% изделий некоторого предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 20 изделий, изготовленных на этом предприятии. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта, вероятность этого числа изделий, математическое ожидание и дисперсию числа изделий.

7. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна 0,02. Считая применимым закон Пуассона, вычислить сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью 0,9 указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз.

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,004 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 700 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если Y=(2+X)², где случайная величина X имеет показательное распределение Ex().

10. Совместное распределение дискретных случайных величин X и Y задается с помощью таблицы:

X Y	–2	0	1
–1	1/6	1/6	1/6
2	1/6	1/6	1/6

Найти: а) M[1–2X], D[1–2X]; б) M[Y], D[Y]; в) коэффициент корреляции (X,Y); г) M[2X–Y], D[2X–Y].

5. С помощью характеристической функции найти математическое ожидание M[X] и коэффициент вариации [X] для гамма-распределения (k,).

Типовой расчет