5. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

6. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,65, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,45, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,20, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,7; 0,2 и 0,1. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

7. В первой урне содержится 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают три шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.

8. Вероятность одного попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше 0,9?

9. В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?

10. Посажено 600 семян кукурузы. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.

11. В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 800 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 70 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?

12. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/4. Случайная величина – число израсходованных патронов. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
pi	0,10	0,20	0,30	0,10	0,10	0,15	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находится между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт?

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,7. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = –0,5 и дисперсию D[X] =5,25.

6. Плотность непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти значение параметра a, функцию распределения F(x), , вероятность P(1<X<1/2), квантиль и медиану.

5. Масса апельсин, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 85% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.

6. Артиллерия сделала 25 выстрелов по объекту. Вероятность попадания одного выстрела равно 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий, вероятность этого числа попаданий, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

7. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек испускало в среднем 3,87 -частиц. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну -частицу.

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,002 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 500 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если Y=(2+X)², где случайная величина X имеет равномерное распределение R(0,1).

10. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:

X	–1	0	1	2
P	1/5	1/10	p3	2/5

Найти p₃ и математические ожидания и дисперсии случайных величин и коэффициент корреляции: а) X; б) X²–1; в) |X|; г) 2^X; д) коэффициент корреляции .

5. С помощью характеристической функции найти центральный момент первого порядка ₁ и начальный момент третьего порядка ₃ для геометрического распределения G(p).

Типовой расчет