Теория вероятностей

Вариант №15

1. Используя диаграммы Вьенна, докажите тождество AC–B = AC–BС.

2. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

3. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью q₁, второй – с вероятностью q₂ и третий – с вероятностью q₃. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.

4. Электрическая схема имеет вид:

Вероятности безотказной работы элементов А₁, А₂, А₃ и А₄ соответственно равны 0,6, 0,9, 0,7 и 0,8. Найти вероятность безотказной работы (т.е. не будет разрыва цепи), если элементы работают независимо друг от друга.

5. Два студента А и В условились встретиться в определенном месте между 12ч30мин и 13ч20мин. Пришедший первым ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанного времени равновероятны и независимы?

6. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. по оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

7. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, во второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15 и 10. Из наудачу выбранной партии случайным образом извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают обратно и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

8. Партия содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

9. В среднем по 17% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 14 договоров с наступление страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) 3 договора; 2) не менее двух; 3) чему равно ожидаемое число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы? 4) чему равно наивероятнейшее число договоров, которые будут связаны с выплатой страховой суммы?

10. Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,15. Найти вероятность того, что из 110 имеющихся приборов выйдет из строя: а) ровно 10; б) больше 15, но меньше 20.

11. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,95, что доля проданных среди них отклонится от 0,6 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

12. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий ОТК берет из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Случайная величина – число изделий, проверяемых ОТК в каждой партии. Найти закон распределения, построить многоугольник распределения, найти и изобразить функцию распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины.

13. Доход от некоторого рискованного бизнеса составляет сумму около 1000 у.е. с заданным рядом распределения (знак минус означает убыток):

xi	–2000	–1000	0	1000	2000	3000
pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

а) Какой наиболее вероятностный денежный доход рискованного бизнеса? б) Является ли этот риск вероятностно-успешным? Объясните. в) Чему равен на длительный период средний доход от этого бизнеса? г) Какова хорошая мера риска вложений в такое рискованное предприятие? Почему? Вычислите эту меру.

5. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,4. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 2,2 и дисперсию D[X] = 0,96.

6. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти параметр k, функцию распределения F(x), , , вероятность P(X</3) и медиану.

5. Фирма, занимающая продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением =550 и неизвестным математическим ожиданием a. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 8500. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

6. 30% изделий некоторого предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 20 изделий, изготовленных на этом предприятии. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта, вероятность этого числа изделий, математическое ожидание и дисперсию числа изделий.

7. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна 0,01. Считая применимым закон Пуассона, вычислить сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью 0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз.

8. Время безотказной работы прибора является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром =0,003 ч^–1. Найти математическое ожидание и дисперсию безотказной работы прибора, а также вероятность того, что прибор проработает 800 ч.

9. Найти распределение случайной величины Y, если , где случайная величина X имеет равномерное распределение R(0,1).

10. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределение:

X	–2	0	1	4
P	3/8	1/8	p3	1/4

Найти p₃ и математические ожидания и дисперсии случайных величин и коэффициент корреляции: а) X; б) 2X²; в) |2X|; г) 3^X; д) коэффициент корреляции .

5. С помощью характеристической функции найти центральный момент четвертого порядка ₄ для распределения Бернулли Be(p).

Типовой расчет