2.10.4.Неортогональная аппроксимация

При неортогональной аппроксимации обычно применяют критерий равномерного приближения и систему линейно независимых базисных функций или .

На этом базисе можно построить различные неортогональные полиномы. Наибольшее применение нашли полиномы Тейлора и Лагранжа. Характер аппроксимации при полиноме Тейлора – это экстраполяция или предсказание. А при полиноме Лагранжа – интерполяция.

2.10.4.1.Экстраполяция

Аппроксимирующей функцией является полином Тейлора

,

где , и – отсчеты или значения сигнала, 1-й и n-й производных в точке . Координаты сигнала представляют собой коэффициенты разложения в ряд Тейлора. По сути дела, координаты сигнала – это отсчет сигнала и отсчеты n его производных.

Общая картина экстраполяции полиномом Тейлора n-й степени имеет вид, представленный на рис.2.74.

Рис.2.74

На рис.2.74: T_i – i-й участок экстраполяции; t_i – i-й интервал между координатами сигнала; _i(t) – текущая погрешность экстраполяции (аппроксимации) на i-м участке. Для экстраполяции ;

В данном случае координаты (вся информация о сигнале) определяются в начале участка экстраполяции. Поэтому можно сразу (без задержки) воспроизводить сигнал, вычисляя или моделируя полином Тейлора. При этом полином Тейлора как бы предсказывает (экстраполирует) поведение сигнала x(t) на участке аппроксимации.

Погрешность равномерного приближения обычно оценивается из остаточного члена полинома при . Исходный сигнал можно представить в виде:

где – остаточный член полинома.

Тогда погрешность экстраполяции

и максимальное значение модуля этой погрешности (модуль-максимум) имеет вид

,

где – оценка сверху остаточного члена полинома Тейлора,

,

где – модуль-максимум (n+1)-й производной; – участок экстраполяции.

2.10.4.2.Интерполяция

Аппроксимирующей функцией является полином Лагранжа. В качестве координат сигнала обычно предпочитают его отсчеты . Для построения интерполяционного полинома n-ой степени нужно иметь отсчет, т.е. . Моменты времени , k=0,1,...,n называют узлами интерполяции.

Общая картина интерполяции полиномом n-й степени представлена на рис.2.75).

Рис.2.75

Здесь – i-й участок интерполяции; – i-й интервал между координатами сигнала; – узлы интерполяции; – текущая погрешность интерполяции (аппроксимации) на i-м участке.

В общем случае интервал между отсчетами сигнала (узлами) . Если интервал , то на участке аппроксимации узлы интерполяции равноотстоящие. Для равноотстоящих узлов .

Задача интерполяции формулируется таким образом. Пусть задан отсчет в узлах , k=0,1,...,n. Требуется найти аппроксимирующий полином , проходящий через все отсчеты в узлах интерполяции.

Решением данной задачи является интерполяционный полином Лагранжа. Возможны две формы записи полинома Лагранжа. Они отличаются видом координат сигнала.

1) Первая форма. Здесь координаты – это коэффициенты разложения функции в ряд по базису .

В этом случае полином Лагранжа имеет вид

,

где коэффициенты определяются решением системы уравнений

система уравнений.

2) Вторая форма. Здесь координаты – это отсчет сигнала. Данная форма наиболее удобна и широко распространена в измерительной технике.

В этом случае полином Лагранжа имеет вид

.

Очевидно, при имеем , т. е. полином Лагранжа совпадает с функцией в узлах интерполяции.

Исходя из остаточного члена полинома, максимальная погрешность интерполяции при равномерном критерии приближения

,

где – оценка сверху остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа,

.

Для равноотстоящих узлов

,

где ; .

46