- •2.Основы теории сигналов
- •2.1.Общие понятия
- •2.2.Классификация сигналов
- •2.3.Геометрические методы описания сигналов
- •2.3.1.Основные понятия
- •2.3.2.Скалярное произведение сигналов
- •2.3.3.Понятие ортогональных сигналов и обобщенного ряда Фурье
- •2.4. Спектральное представление сигналов
- •2.4.1.Периодические сигналы
- •2.4.2.Непериодические сигналы
- •2.4.3.Связь преобразований Фурье
- •2.4.4.Преобразование Лапласа
- •2.4.5.Понятие текущего и мгновенного спектров
- •2.4.6.Основные свойства преобразований Фурье
- •4. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания).
- •5. Спектры производной и интеграла.
- •6. Свойство частотного сдвига (теорема о переносе спектра).
- •7. Теорема о свертке.
- •2.5.Энергетические характеристики сигналов
- •2.5.1.Энергетический и мощностный спектры
- •2.5.2.Корреляционная функция
- •2.6.Примеры детерминированных сигналов и их математическое описание
- •2.7.Связь между длительностью сигнала и шириной его спектра
- •2.8.Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства
- •2.8.1.Режимы работы и основные характеристики
- •2. Частотные характеристики:
- •2.8.2.Основные задачи динамики
- •2.8.3.Пример прохождения сигнала через идеальный фильтр нижних частот
- •2.9.Случайные сигналы и их характеристики
- •2.9.1.Общие понятия
- •2.9.2.Основные характеристики случайных процессов
- •2.9.2.1.Нестационарные процессы
- •2.9.2.2.Стационарные процессы
- •2.9.3.Эргодическое свойство стационарных процессов
- •2.9.4.Спектральное представление стационарных процессов
- •2.9.5.Прохождение стационарных случайных сигналов через линейные устройства
- •2.10.Аппроксимация детерминированных сигналов
- •2.10.1.Постановка задачи и общие понятия
- •2.10.2.Ортогональная аппроксимация
- •2.10.3.Ортогональные функции Уолша
- •2.10.4.Неортогональная аппроксимация
- •2.10.4.1.Экстраполяция
- •2.10.4.2.Интерполяция
2.5.2.Корреляционная функция
В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального решения измерительной задачи.
Для количественной оценки степени различия сигналов x(t) и x(t-) применяют автокорреляционную функцию (АКФ) B() сигнала x(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:
.
Если x(t) носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.
Основные свойства автокорреляционной функции:
1) при=0 АКФ равна энергии сигнала;
2) функция четная;
3) при любом модуль АКФ не превосходит энергии сигнала.
В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой U и длительностью и (рис.2.13).
На рис.2.13 затененные области показывают наложение сигналов, при котором произведение x(t)x(t-) отлично от нуля. Это будет при .
Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала x(t) АКФ убывает монотонно или колебательно.
Установим связь между АКФ B() сигнала x(t) и его энергетическим спектром E(). Пусть сигнал имеет преобразование Фурье, т.е. . Тогда согласно теореме о временном сдвиге спектральная функция смещенного во времени сигнала x(t+) имеет вид
.
Выражая функцию x(t+) через обратное преобразование Фурье, можно записать АКФ в виде
.
Так как интеграл
есть комплексно-сопряженная спектральная функция и произведение , то получим
.
Отсюда следует, что АКФ является обратным преобразованием Фурье энергетического спектра E(). Очевидно, будет справедливо и прямое преобразование Фурье:
Итак, энергетический спектр E() и автокорреляционная функция B() связаны преобразованием Фурье, т.е. .
Таким образом, можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме сигналов x(t-i) и x(t-) при изменении задержки i (см. систему обработки на рис.2.12). Поэтому при проектировании таких систем зондирующий сигнал целесообразно выбирать широкополосным.
В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации.
Два сигнала x(t) и y(t) могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяют взаимно корреляционную функцию (ВКФ) Bxy(). ВКФ двух вещественных сигналов x(t) и y(t) определяется как скалярное произведение вида
.
Основные свойства взаимно корреляционной функции:
1) ; 2) нечетная функция;
3) ограниченная функция (следует из неравенства Коши Буняковского);
4) в отличие от АКФ при ВКФ необязательно имеет максимум.