2.8.2.Основные задачи динамики

Различают следующие основные задачи.

1. Экспериментальное определение динамических характеристик устройства по его реакции на испытательные сигналы (t) и 1(t).

2. Определение выходного сигнала у(t) при заданных x(t) и К(j) или К(р). Эту задачу можно решать тремя методами.

0. Cпектральный метод:

0. Операторный метод:

0. Временной метод. Так как

,

то согласно теореме о свёртке

Если сигнал x(t) начинается в момент и равен нулю при , то нижний предел в интеграле свёртки можно заменить на нуль. Если дополнительно для (это условие выполняется для всех физически реализуемых устройств), то для Поэтому верхний предел в интеграле свёртки можно заменить на .

Рассмотренные ограничения дают частный случай интеграла свёртки

3. Оценка динамической погрешности преобразования.

• Временное представление динамической погрешности (рис.2.47, для случая линейного входного сигнала).

Динамическую погрешность можно оценивать также в гильбертовом квадратичном пространстве L² как норму разности двух функций y_реал(t) и y_идеал(t).

• Частотное представление динамической погрешности.

В частотной области она характеризуется спектральной функцией

или изображением .

Динамическая погрешность зависит как от характеристик устройства, так и от вида входного сигнала.

2.8.3.Пример прохождения сигнала через идеальный фильтр нижних частот

Пусть известны частотные характеристики идеального фильтра нижних частот (ФНЧ), рис.2.49, где _с=2f_c  граничная частота среза фильтра.

Пусть на вход идеального ФНЧ в момент времени t=0 подается испытательный сигнал в виде дельта-функции (t). Найдем отклик ФНЧ на этот входной сигнал. Решение данного примера с учетом спектрального представления дельта-функции (рис.2.25) и функции отсчетов (рис.2.19) показано на рис.2.50.

Интегральному преобразованию Фурье соответствует двухстороннее частотное представление (-). Поэтому на рис.2.50 частотные характеристики ФНЧ (см. рис.2.49) приводятся в соответствие с двухсторонним частотным представлением входного сигнала. На область отрицательных частот АЧХ отображается зеркально без изменений, а ФЧХ  зеркально с одновременным изменением знака фазы.

Рис.2.50

Так как на выходе ФНЧ амплитудный спектр A_y()=A_()K() и фазовый спектр _y()=_=-jt₀, то выходной сигнал y(t) имеет спектральную функцию

.

Тогда согласно обратному преобразованию Фурье выходной сигнал

.

Таким образом, с точностью до множителя K_c/ реакция идеального ФНЧ на -функцию  это функция отсчетов Sa_ct-t₀, задержанная на время t₀ за счет линейной фазочастотной характеристики.

2.9.Случайные сигналы и их характеристики

2.9.1.Общие понятия

Случайный сигнал (или процесс) является случайной функцией времени Х(t). Значения этой функции в любой момент времени t нельзя предсказать заранее. Эти значения являются случайными величинами.

В результате опыта случайная функция Х(t) принимает конкретный вид x(t). Функцию x(t) называют реализацией случайного процесса. Каждая реализация  это неслучайная функция.

Случайный процесс полностью определяется бесконечным набором реализаций, т.е. ансамблем реализаций (число реализаций N), рис.2.51.

Рис.2.51

Совокупность значений ансамбля реализаций в произвольный момент t₁ называют сечением Х(t₁) случайного процесса. Сечение Х(t₁) является случайной величиной.

Другой полной характеристикой случайного процесса является многомерная плотность вероятности

p_N (x₁, x₂, ...,x_N; t₁, t₂, ...,t_N).

Она характеризует закон распределения ансамбля случайных величин Х(t₁), Х(t₂),..., Х(t_N).

На практике обычно рассматривают менее полные, но зато более простые характеристики случайных процессов. Их называют числовыми характеристиками или моментами. Эти характеристики являются неполными моделями случайных сигналов.

Числовая характеристика - это среднее значение вида

М [X(t₁), Х(t₂), ..., Х(t_k)] или М [X^k (t)],

где k порядок момента; М  знак математического ожидания, он характеризует операцию усреднения по ансамблю реализаций.

Случайные процессы делятся на нестационарные и стационарные, эргодические и неэргодические.

Различают стационарность в узком и широком смыслах. Стационарность в узком смысле понимают так: плотность вероятности и все моменты не зависят от отсчета времени, т.е.

p_N(x₁, x₂, ...,x_N; t₁, t₂, ...,t_N)= p_N(x₁, x₂, ...,x_N; t₁+, t₂, ...,t_N).

Стационарность в широком смысле понимают следующим образом:

2-й смешанный момент

2-й момент

1-й момент

; ; ,

где t₂-t₁.

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.