2.7.Связь между длительностью сигнала и шириной его спектра

Сигналы могут иметь или бесконечную длительность или бесконечный спектр. Для практических расчетов длительность и ширину спектра можно ограничивать. При этом следует оговаривать, что понимается под практической длительностью и практической шириной спектра. Наиболее удобно эти понятия дать с помощью энергетического критерия. Обычно под ними понимают интервалы, внутри которых сосредоточена основная часть энергии сигнала, например 90 или 99% (рис.2.31, где E()  спектральная плотность энергии).

Рис.2.31

Полная энергия сигнала

.

Пусть сигнал начинается в момент времени t=0. Тогда условие для выбора практической длительности имеет вид

где коэффициент Решение данного уравнения дает величину _п.

Условие для выбора практической ширины спектра:

где

Из рис.2.33 при =0,9 имеем , т.е. . Это значит (рис.2.34), что в частотной области 90% энергии прямоугольного импульса сосредоточено в части амплитудного спектра A(), обозначенной на рис.2.34 затенением.

Связь между шириной спектра и длительностью прямоугольного импульса при  =0,9 можно представить в следующем виде:

или

Отсюда видно, что чем короче импульс, тем шире его спектр.

Анализ различных импульсных сигналов показывает, что для всех импульсов (это характерная особенность)

,

где   коэффициент, зависящий от формы импульса. Его величина порядка единицы

2.8.Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства

Для линейных устройств (ЛУ) справедлив принцип суперпозиции.

2.8.1.Режимы работы и основные характеристики

Различают два режима работы  статический и динамический.

А. Статика (рис.2.35).

Рис.2.35

Коэффициент передачи или чувствительность линейного устройства

.

Две типовые структурные схемы ЛУ приведены на рис.2.36.

При последовательном соединении звеньев устройства (рис.2.36,а) коэффициент передачи

.

Рис.2.36

Для устройств с обратной связью (рис2.36,б, где x_oc  сигнал обратной связи; ИСС  измерительная схема сравнения сигналов x и x_oc )

где “+” берется при отрицательной обратной связи, а “-”  при положительной обратной связи.

Б. Динамика. Идеальное линейное устройство (ИЛУ) (рис.2.37).

Рис.2.37

Реальное линейное устройство (РЛУ). Для описания его работы в динамическом режиме служат следующие характеристики.

1. Линейное дифференциальное уравнение:

а_ny^{( n )} (t)+ а_n-1y^{( n-1 )} (t)+…+ а₁y (t)+ а₀y(t)= b₀x(t)+ b₁x (t)+…+ b_mx^{( m )} (t),

где а_n и b_m  параметры устройства. Решение данного уравнения дает связь между функциями x(t) и y(t).

2. Частотные характеристики:

а) Комплексный коэффициент передачи (рис.2.38).

Функция , определяемая как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного сигнала и где  вещественная частота, называется комплексным коэффициентом передачи или комплексной частотной характеристикой устройства. Ее можно представлять в другой форме:

,

где  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

 фазочастотная характерстика (ФЧХ).

Для идеального устройства АЧХ (2.39,а) и ФЧХ (2.39,б) имеют вид (рис.2.39):

Рис.2.39

Идеальная ФЧХ может быть двух видов:

прямая 1)такая характеристика не вносит запаздывания;

t₀ (прямая 2)  вносит запаздывания на время t₀ (рис.2.40).

Рис.2.40

Комплексный коэффициент передачи можно найти из дифференциального уравнения, произведя замену оператора дифференцирования d/dt на оператор j

.

Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.2.41.

Рис.2.41

б) Передаточная функция (рис.2.42).

Функция называется передаточной функцией, где р  комплексная частота. Это обобщение функции К(j).

Передаточную функцию К(р) можно получить:

1) из дифференциального уравнения заменой d/dt на оператор “р”

где z_i  нули; р_i  полюсы передаточной функции;

2) из комплексного коэффициента передачи заменой (j на “р”

.

Передаточная функция нашла широкое применение при анализе и синтезе линейных устройств (рис.2.43 и 2.44).

3. Временные характеристики:

1. Весовая функция. Реакция (или отклик) устройства на -функцию (рис.2.45) называется весовой или импульсной функцией g(t).

Рис.2.45

Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(j). Очевидно, спектр весовой функции

.

Отсюда на основании обратного преобразования Фурье имеем

или при замене (j на оператор “р” получим

,

т. е.обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает импульсную функцию.

На практике обычно решается обратная задача. На вход устройства подают испытательный сигнал (t). В результате эксперимента получают весовую функцию g(t). Затем на основании весовой функции определяют или комплексный коэффициент передачи К(j), или передаточную функцию К(р):

б) Переходная функция. Реакция устройства на единичную функцию 1(t) называется переходной функцией h(t) (рис.2.46).

Рис.2.46

Рассмотрим связь между функциями h(t), К(j) и К(р). Очевидно, спектр переходной функции:

На основании обратного преобразования Фурье этого спектра с учетом фильтрующих свойств дельта-функции () следует

Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда окончательно имеем: