2.4.2.Непериодические сигналы

Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция x(t) непериодическая, T. На основании (2.4.2) и (2.4.3), учитывая 1/T=₁/2, имеем

.

При T сумма переходит в интеграл, величина , а , где  текущая непрерывная частота. Тогда получим:

или , (2.4.6)

где . (2.4.7)

Формулы (2.4.7) и (2.4.6) определяют соответственно прямое и обратное преобразование Фурье. В них Ф и Ф^-1  обозначение прямого и обратного операторов Фурье .

Формулы (2.4.7) и (2.4.6)  пара интегральных преобразований Фурье. Функция F(j) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Значения спектральной функции при положительных и отрицательных значениях частоты  комплексно сопряжены. Поэтому (2.4.6) можно записать в виде

,

где Re  обозначение взятия действительной части.

Интеграл Фурье (2.4.7) представляет непериодическую функцию в виде суммы бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний . Поэтому непериодическая функция имеет непрерывный, т. е. сплошной, спектр. Другими словами, в непериодической функции имеются все частоты.

Согласно (2.4.6), комплексная амплитуда элементарного колебания равна

.

Отсюда следует

,

т. е. спектральная функция характеризует не амплитуду, а спектральную плотность амплитуд.

Спектральную функцию можно представить в виде

где  спектр амплитуд (тоже характеризует не амплитуду, а спектральную плотность амплитуд);

 спектр фаз.

2.4.3.Связь преобразований Фурье

Сравнение (2.4.1) и (2.4.2) дает:

.

Сравнение (2.4.2) и (2.4.7) позволяет записать:

и .

Сравнение (2.4.4) и (2.4.7) дает:

и .

Отсюда следует, что для сигналов одинаковой формы дискретная функция вписывается в непрерывную функцию

которую называют огибающей дискретного спектра периодического сигнала.

Для дискретной функции огибающая спектра

.

2.4.4.Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье путем перехода от вещественной частоты  к комплексной частоте p:

 прямое преобразование;

 обратное преобразование,

где  оператор Лапласа, понимается как комплексная частота;

L и L^-1  обозначения прямой и обратной операций преобразования Лапласа;

F(p)  изображение оригинала x(t).

При с=0 преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье.

2.4.5.Понятие текущего и мгновенного спектров

Определение текущего спектра имеет вид

.

Текущий спектр показывает развитие частотных свойств сигнала x(t) во времени (рис.2.8). При его нахождении осуществляется “последовательное” интегрирование сигнала (пунктирная линия на рис.2.8 перемещается по стрелке).

Определение мгновенного спектра имеет вид

.

Мгновенный спектр показывает частотные свойства сигнала в данный момент времени. При его определении осуществляется “скользящее” интегрирование сигнала (рис.2.9, где заштрихованная область перемещается, т.е. скользит по оси времени).

2.4.6.Основные свойства преобразований Фурье

Для удобства введем обозначение взаимного соответствия между временным и спектральным представлением сигнала:

,

где F(j)  прямое преобразование Фурье функции x(t);

x(t)  обратное преобразование Фурье спектральной функции F(j).

Преобразования выполняются по формулам (2.4.6) и (2.4.7).

1. Условие существования интегрального преобразования Фурье.

,

т. е. функция x(t) должна быть абсолютно интегрируемой. Это условие является достаточным, но не необходимым. Существуют функции абсолютно неинтегрируемые, но имеющие преобразование Фурье. Для них преобразование Фурье получают в результате предельного перехода.

2. Принцип суперпозиции.

Если , где k= 1, 2, 3,..., n , то

,

т.е. спектр суммы функций равен сумме спектров слагаемых. Преобразование Фурье  линейная операция.

3. Свойство изменения масштаба.

Если , то ,

где q  действительная постоянная величина.

Доказательство:

Обозначим . Отсюда следует

.

Таким образом, при изменении масштаба времени в q раз масштаб частот для спектра меняется в 1/q раз. Значит, увеличение длительности сигнала приводит к сужению его спектра. И наоборот, чем короче сигнал по времени, тем шире его спектр.