- •2.Основы теории сигналов
- •2.1.Общие понятия
- •2.2.Классификация сигналов
- •2.3.Геометрические методы описания сигналов
- •2.3.1.Основные понятия
- •2.3.2.Скалярное произведение сигналов
- •2.3.3.Понятие ортогональных сигналов и обобщенного ряда Фурье
- •2.4. Спектральное представление сигналов
- •2.4.1.Периодические сигналы
- •2.4.2.Непериодические сигналы
- •2.4.3.Связь преобразований Фурье
- •2.4.4.Преобразование Лапласа
- •2.4.5.Понятие текущего и мгновенного спектров
- •2.4.6.Основные свойства преобразований Фурье
- •4. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания).
- •5. Спектры производной и интеграла.
- •6. Свойство частотного сдвига (теорема о переносе спектра).
- •7. Теорема о свертке.
- •2.5.Энергетические характеристики сигналов
- •2.5.1.Энергетический и мощностный спектры
- •2.5.2.Корреляционная функция
- •2.6.Примеры детерминированных сигналов и их математическое описание
- •2.7.Связь между длительностью сигнала и шириной его спектра
- •2.8.Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства
- •2.8.1.Режимы работы и основные характеристики
- •2. Частотные характеристики:
- •2.8.2.Основные задачи динамики
- •2.8.3.Пример прохождения сигнала через идеальный фильтр нижних частот
- •2.9.Случайные сигналы и их характеристики
- •2.9.1.Общие понятия
- •2.9.2.Основные характеристики случайных процессов
- •2.9.2.1.Нестационарные процессы
- •2.9.2.2.Стационарные процессы
- •2.9.3.Эргодическое свойство стационарных процессов
- •2.9.4.Спектральное представление стационарных процессов
- •2.9.5.Прохождение стационарных случайных сигналов через линейные устройства
- •2.10.Аппроксимация детерминированных сигналов
- •2.10.1.Постановка задачи и общие понятия
- •2.10.2.Ортогональная аппроксимация
- •2.10.3.Ортогональные функции Уолша
- •2.10.4.Неортогональная аппроксимация
- •2.10.4.1.Экстраполяция
- •2.10.4.2.Интерполяция
2.3.2.Скалярное произведение сигналов
Понятие скалярного произведения элементов x(t) и y(t) линейного пространства позволяет определять угол между двумя векторами (сигналами).
Пусть в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и (рис.2.3) . Тогда квадрат модуля их суммы имеет вид
По аналогии с векторной алгеброй найдем энергию суммы двух сигналов x(t) и y(t):
. (2.3.2)
В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны. Здесь энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию
.
Сравнение (2.3.1) и (2.3.2) дает определение скалярного произведения вещественных сигналов x и y в пространстве L2:
.
Косинус угла между сигналами x и y:
.
При этом справедливо фундаментальное неравенство Коши Буняковского
.
Таким образом, для линейного вещественного пространства скалярное произведение функций x(t) и y(t) имеет вид
и норма, выраженная через скалярное произведение, будет
.
Скалярное произведение комплексных сигналов x(t) и y(t) в гильбертовом комплексном пространстве L2 определяется по формуле
,
причем .
2.3.3.Понятие ортогональных сигналов и обобщенного ряда Фурье
Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю, т.е.
.
Пусть в гильбертовом пространстве сигналов L2 на отрезке времени [t1,t2] в качестве координатного базиса задана бесконечная система функций . Пусть норма функций и функции ортогональны друг другу. Тогда скалярное произведение принимает вид
В этом случае говорят, что в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.
Произвольный сигнал x(t)L2 можно разложить по координатному базису в ряд:
. (2.3.3)
Такое разложение называют обобщенным рядом Фурье сигнала x(t) в выбранном базисе. Коэффициенты этого ряда (координаты сигнала) определяют следующим образом. Умножим обе части разложения в ряд (2.3.3) на произвольную базисную функцию . Затем проинтегрируем результаты по времени:
Так как базис ортонормирован, то правая часть этого равенства будет равна aj . Отсюда следует
. (2.3.4)
Выражения (2.3.3) и (2.3.4) определяют представление сигналов посредством обобщенных рядов Фурье.
2.4. Спектральное представление сигналов
Это представление лежит в основе спектрального анализа. Под ним понимают представление функции x(t) в виде ряда или интеграла Фурье.
2.4.1.Периодические сигналы
Условие периодичности имеет вид
x(t) = x(t+mT),
где T период; m=1, 2, ... натуральное число.
Любой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле (функция ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов), может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье
(2.4.1)
где угловая частота 1-й или основной гармоники;
коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:
; ; ;
; ;
амплитуда k-й гармоники; фаза k-й гармоники; среднее значение сигнала (постоянная составляющая).
Ряд (2.4.1) представляет функцию как сумму гармонических составляющих. В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье. Ее можно получить на основании формулы Эйлера
при , введя обозначения
комплексная амплитуда k-й гармоники (содержит информацию о фазе и амплитуде);
комплексно-сопряженная амплитуда.
В комплексной форме ряд (2.4.1) будет иметь вид
. (2.4.2)
Коэффициенты ряда (2.4.2) вычисляются по формуле
. (2.4.3)
Формулы (2.4.2) и (2.4.3) пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность величин спектр амплитуд. Совокупность величин спектр фаз.
Спектры амплитуд и фаз можно представлять графически в виде спектрограмм. Например, согласно ряду (2.4.1), вид спектрограмм следующий (рис.2.5).
Рис.2.5
Очевидно, спектры периодических сигналов дискретны.
На практике часто достаточно знать лишь амплитудный спектр. Однако для перехода от спектрального представления к временному обязательно нужно знать спектр амплитуд и спектр фаз (рис.2.6).
Рис.2.6
Ряд (2.4.2) удобно представлять в форме
, где (2.4.4)
. (2.4.5)
Спектрограммы, полученные на основании рядов (2.4.1) и (2.4.3) или (2.4.4) отличаются. Различие следующее:
спектр (2.4.1) односторонний (k и kтолько положительные величины);
спектр (2.4.5) двусторонний (k и k имеют положительные и отрицательные значения) (рис.2.7).
Поэтому амплитуды спектра на основе ряда (2.4.1) в два раза больше амплитуд спектра (2.4.5) на основе ряда (2.4.4).
Рис.2.7
Физическое представление отрицательных частот математическая абстракция. Область отрицательных частот нельзя отбрасывать. При различных преобразованиях спектра это приводит к ошибкам.