- •Линейная алгебра
- •З.И.Андреева линейная алгебра
- •Введение
- •I.Системы линейных уравнений. Метод гаусса
- •II. Определители
- •2.1. Определители второго и третьего порядков
- •2.2. Перестановки и подстановки
- •2.3. Определители n-го порядка
- •III. Матрицы
- •3.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
- •3.2. Простые и двойные суммы
- •3.3 Умножение матриц
- •3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.
- •3.5. Решение матричных уравнений
- •IV. Линейные пространства
- •4.1. Алгебраические операции
- •4.2. Определение и примеры линейных пространств
- •4.3. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •4.5. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
- •4.6. Подпространства линейных пространств
- •4.7. Изоморфизм линейных пространств
- •V. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
- •5.1. Ранг матрицы
- •5.2. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •5.3. Пространство решений системы линейных однородных уравнений
- •5.4. Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
- •5.5. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений
- •VI. Линейные операторы
- •6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов
- •6.2. Область значений и ядро линейного оператора
- •6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа
- •6.4. Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов
- •6.5. Линейные преобразования линейного пространства
- •6.6. Невырожденные линейные преобразования
- •6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •6.8. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
- •VII. Евклидовы пространства
- •7.1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств
- •7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве
- •7.3. Введение метрики в евклидовом пространстве
- •7.4. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
- •7.5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •VIII. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств
- •8.1. Ортогональные линейные преобразования
- •8.2. Сопряженные линейные преобразования
- •8.3. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
- •IX. Билинейные и квадратичные формы
- •9.1. Линейные формы
- •9.2. Билинейные формы
- •9.3. Квадратичные формы
- •9.4. Закон инерции квадратичных форм
- •9.5. Положительно определённые квадратичные формы
- •9.6. Распадающиеся квадратичные формы
- •Вопросы для подготовки к коллоквиуму «Определители. Матрицы. Линейные пространства»
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Литература
4.7. Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение : L L1, что для любых векторов а и в из L и любого элемента Р выполняются условия: (а + в) = (а) + (в), (а) = (а).
Отображение называется изоморфизмом.
Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.
Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение : L L1, что для любых векторов а и в из L и любых элементов , Р выполняется условие: (а + в) = (а) + (в).
Свойства изоморфизма.
1. (0) = 01, где 0 и 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.
2. Если а1, а2, … , ак – любая система векторов из L и (а1) = а11, (а2) = а21, … , (ак) = ак1, то (1а1 + 2а2 + … + как) = 1а11 + 2а21 + … + как1.
3. Если а1, а2, … , ак –линейно независимая система векторов из L и (а1) = а11, (а2) = а21, … , (ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно независима в L1.
4. Если а1, а2, … , ак –линейно зависимая система векторов из L и (а1) = а11, (а2) = а21, … , (ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно зависима в L1.
5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L1 – тоже n-мерное линейное пространство.
6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L1.
Примеры изоморфных пространств.
1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.
2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n2 над полем Р.
V. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
5.1. Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерный вектор из m-мерного арифметического пространства Аm. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерных векторов а1 = (а11, а21, … , аm1), а2 = (а12, а22, … , аm2), … , аn = (а1n, а2n, … , аmn).
Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.
По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства Аn .
Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.
Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.
Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.
Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а1, … , ак, ак+1, … , аn . Векторы а1, … , ак линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой
-
а1, … , ак, ак+1, …, аn
А =
строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то этобудет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
= 0.
Разложим по последней строке, получим
Так как М 0, то .
Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Арк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, аs = а1 – … – ак . Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.
Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.
Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и АТ один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.
Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:
Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).
Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.
Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от .
Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А1 = . Из миноров второго порядка только один не содержит , но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М1 = При = 0 матрица А1 имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М1 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М2 = . Так как , то М2 0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A1 = 3.
Итак, при = 0 rang A, при 0 rang A =3.
Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.
Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.