7.3. Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а². По 4-ой аксиоме скалярного произведения а²  0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора . т.е.  а = (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну,  а  0.

2.  а =  а для любого а  Е_n .

3. Для любых векторов а и в из Е_n верно неравенство  ав  а  в.

Доказательство. (а –в)² = а² – 2(а, в) + ²в²  0 для любого   R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении , то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)² – а² в²  0, или (а, в)²  а² в². Отсюда  ав  а  в (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

4⁰. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а  0, то  а  0. Следовательно, существует вектор а₀ = а. Очевидно,  а₀ =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое действительное число  , что (46).

Угол между векторами а и можно также обозначать .

Свойства углов.

1⁰. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (44) следует, что Следовательно,  существует.

2⁰. Если   0,   0, то .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а  в.

3⁰. Если а  в,   0,   0, то (а) (в).

4⁰. Если а  в и а  с, то а  ( в + с).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Е_n, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

5⁰. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Е_n .

Доказательство.

Из свойств 3⁰ и 4⁰ следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Е_n . Так как в Е_n определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с  L  (а, с) = 0 (). Зафиксируем в Е_n базис. Пусть а = (а₁, а₂, … , а_n), с = (х₁, х₂, … , х_n). Тогда с  L  а ^ТГх = 0 (). Уравнение () есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения () является (n – 1)-мерным.

Пусть Е_к – подпространство пространства Е_n. Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Е_к .Иными словами с  Е  (с, а) = 0 для всех а  Е_к . Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Е_к .

6⁰. Ортогональное дополнение Е является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Е_n .

Доказательство аналогично доказательству свойства 5⁰.

7⁰. Е  Е_к = 0.

8⁰. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пусть а  в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара ,  действительных чисел, что а + в = 0. Если   0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а. Получим а² + (а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а² 0 , то  = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.

9⁰. Если а₁, а₂, … , а_к и в₁, в₂, … , в_s – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а₁, а₂, … , а_к и в₁, в₂, … , в_s линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1  к  n ) Е_n = Е  Е_к .

Доказательство. Пусть (е₁, е₂, ... , е_к ) – базис в Е_к и (е_{к +1}, е _{к + 2}, ... , е_n ) – базис в Е . Из свойства 9⁰ следует, что (е₁, е₂, ... , е_к, е_{к +1}, е _{к + 2}, ... , е_n ) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов, то это базис в Е_n . Следовательно, Е_n = Е + Е_к . Из свойства 7⁰ следует Е_n = Е  Е_к .

Пусть Е_n = Е  Е_к . Если а – любой вектор из Е_n , то а = а₁ + а₂, где а₁  Е_к , а₂  Е . Вектор а₁ называется проекцией вектора а на подпространство Е_к . Вектор а₂ называется ортогональной составляющей вектора а.