5.3. Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.
-
(30)Так как столбец свободных членов в матрице А1 этой системы состоит только из нулей, то rang A = rang A1, т.е. система линейных однородных уравнений всегда совместна. В частности она всегда имеет нулевое решение. Рассмотрим множество всех возможных решений системы (30).
Пусть
=(1,
2,
… , n)
и
=(1,
2,
… , n)
– любые два из них. Их можно рассматривать,
как векторы в арифметическом n-мерном
пространстве над полем Р. Пусть
– любой
элемент поля Р. Тогда
+ =
(1 +
1,
2
+ 2,
… , n
+ n
),
= (1,
2,
… , n).
Подставим компоненты этих векторов
в произвольное s-е уравнение системы
(30). Получим
Итак, если
и
– любые два решения системы (30) и
– любой
элемент поля Р, то
+ и
тоже являются решением этой системы.
Но тогда из теоремы 14 следует
Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn .
Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.
Доказательство. Пусть L – пространство решений системы (30). Тогда L Аn . Пусть = (1, 2, … r, r+1, … , n) – произвольное решение системы. Пусть (r+1, … , n) – набор свободных неизвестных, соответствующий этому решению. Множество всех возможных наборов свободных неизвестных есть арифметическое (n – r)-мерное пространство Аn–r . Зададим отображение : L Аn–r по правилу
= (1, 2, … r, r+1, … , n) () = (r+1, … , n).
Покажем, что – изоморфизм (определение 24). Для этого нужно проверить три условия.
1. Покажем, что – взаимнооднозначное отображение. Решению = (1, 2, … r, r+1, … , n) соответствует только один набор (r+1, … , n), следовательно, – однозначное отображение. Обратно, если задать элемент (r+1, … , n) из Аn–r , то по теореме Крамера найдётся только один набор (1, 2, … r ) искомых неизвестных, т.е. каждый элемент () из Аn–r соответствует единственному элементу из L .
2. () = (r+1, … , n ) = (r+1, … , n ) = (а).
3. (а + в) = (r+1 + r+1, … ,n + n ) = (r+1, … , n) + (r+1, … , n ) = (а) + (в).
Итак, пространство решений системы линейных однородных уравнений изоморфно арифметическому (n – r)-мерному пространству. Следовательно, размерность L равна (n – r).
Определение 29. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.
Так как при изоморфизме базис пространства Аn–r соответствует базису пространства L , то для того. чтобы найти фундаментальную систему решений для системы (30), достаточно выбрать (n – r) линейно независимых наборов свободных неизвестных и для каждого из них найти решение данной системы.
Следствие. Если а1, а2, …, аn–r фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (30) и С1, С2, … , Сn–r – произвольные элементы поля Р, то С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r – общее решение этой системы.