6.8. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование  линейного пространства L_n над полем Р имеет в базисе е = (е₁, е₂, ... , е_n ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования .

Доказательство.  Пусть матрица А линейного преобразования  в базисе е – диагональная. Тогда (е_к) = _к для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

 Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда (е_к) = _к . Следовательно, в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и а_кк = _к. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование  линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование  линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, то в L_n существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.

VII. Евклидовы пространства

7.1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

Пусть L –линейное пространство над полем Р. В L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение векторов на элементы поля Р, Введём ещё одну внутреннюю алгебраическую операцию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов. В основу определения этой операции положим те свойства скалярного произведения геометрических векторов, которые были получены в аналитической геометрии. При этом определения скалярного произведения в случае, когда поле Р является полем действительных чисел, отличается от случая, когда Р = С.

Определение 43

а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в)  R, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1. (а, в) = (в, а) для любых а и в из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого   R; 4. (а, а)  0, если а  0; (а, а) = 0, если а = 0.

б) Р = С Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в)  С, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1. = для любых а и из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого   С; 4. (а, а)  R и (а, а)  0, если а  0; (а, а) = 0, если а = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (а, в) или ав.

Свойства скалярного произведения.

а) Р = R 1^0. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого   R; 2^0. (  а,   в) =  (а, в) для любых а и в из L и любых  ,   Р; 3^0. (  а +   в, с) = (а, с) + (в, с) для любых а, в и с из L и любых  , ,   Р; 4^0. (а, 0) = 0 для любого вектора а L.

б) Р = С 1^0. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого   С; 2^0. (  а,   в) =  (а, в) для любых а и в из L и любых  ,   С; 3^0. (  а +   в, с) =  (а, с) +  (в, с) для любых а, в и с из L и любых  , ,   С; 4^0. (а, 0) = 0 для любого вектора а  L.

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется унитарным пространством.

Так как и евклидово и унитарное пространства являются линейными пространствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику. В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) пространством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать Е_n (унитарное пространство - U_n).

Примеры евклидовых пространств.

1. Пусть L – множество всех непрерывных на промежутке [, ] действительных функций. Это множество является линейным пространством. Скалярное произведение определим по следующему правилу. Если f и g – две непрерывные на [, ] функции, то пусть (f , g) = . Из свойств определённого интеграла следует, что все требования определения 43 (а) выполняются. Следовательно, если в пространстве всех непрерывных на промежутке [, ] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

2. Пусть М₂ – множество квадратных матриц с действительными элементами, это множество является линейным пространством на полем R. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверить, что все требования определения 43 (а) выполняются. Множество М₂ стало евклидовым пространством.

3. Пусть М₂ – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверит, что все требования определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.