6.6. Невырожденные линейные преобразования

Пусть L_n – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть  : L_n  L_n – линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в любом другом базисе  задаётся матрицей, подобной А, т.е. матрицей вида А¹ = ТАТ^–1 . Так как матрица Т невырожденная, то rang (A¹) = rang (A).

Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства.

Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.

Теорема 36. Линейное преобразование  линейного пространства L_n является невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1)  (L_n ) = L_n ; 2) Ker() = 0; 3)  – взаимнооднозначное отображение L_n на себя;

4) при преобразовании  различные векторы имеют различные образы.

6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть L_n – линейное n-мерное пространство над полем Р,  : L_n  L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования , если (а) = а для некоторого   Р. Элемент  называется собственным значением преобразования .

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования     Р : (а) = а. Перепишем это равенство в координатах, получим Ах = х. Отсюда Ах – (Е)х = О, или (А –Е)х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования   столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –Е)х = О (38). Матрица (А –Е) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)	преобразования   (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.
(40)	имеет место равенство (340). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е.  А – Е , называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40,   Р. Пусть ₀  Р и является характеристическим корнем матрицы А. При ₀ система (39) имеет ненулевое решение, т. е.  будет иметь собственный вектор и ₀ будет собственным значением преобразования , заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1АС. Так как матрица Е перестановочна с любой матрицей, то  В – Е  =  С^–1АС – Е  =  С^–1АС – С^–1 (Е)С  =  С^–1(А – Е)С  = С^–1  А – Е С =  А – Е .

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования  : L_n  L_n , действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если ₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования  : L₄  L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е₁, е₂, е₃,е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

()

, (1 –  )² – 1(1–  )(3 – ) – 6 = 0. Возможны два случая:

1) (1 – )² – 1 = 0, 1 –  =  1. Отсюда ₁ = 0, ₂ = 2.

2) (1–  )(3 – ) – 6 = 0, ² – 4 – 3 = 0, ₃ = , ₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При  = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3С, то х₂ = –3С, х₃ = 13С, х₄ = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению  = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При  = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7С, то х₂ = 7С, х₃ = –15С, х₄ = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению  = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При  = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению  = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, ).
4) При  = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 . Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению  = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования , принадлежащий собственному значению  и   0, то а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если  (а ) = а, то (а) =(а) = (а) = (а).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования  : L_n  L_n , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n .

Пусть а и в два собственных вектора и (а ) = а, (в) = в. Тогда (а + в) = (а) + (в) = (а) + (в) = (а + в).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть (а ) = а, (в) = ₁в,   ₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = а. Так как в – собственный вектор, то   0. Тогда (в) = (а). Отсюда ₁в = (а), ₁(а) = (а), (₁ – )а = 0. Но в левой части   0, ₁ –   0, а  0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂, ... , е_к, … , е_n ) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования , принадлежащий собственному значению , то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и а_кк = .