III. Матрицы

3.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число

Рассмотрим множество M_mn всех матриц размерности mn с действительными (комплексными) элементами.

Определение 7. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

Если а_рк и в_рк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то с_рк = а_рк + в_рк .

Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:

Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна.
А + В = В + А для любых матриц А и В из M_mn.
(А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из M_mn .
Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А ).
Если обозначить А матрицу, все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А, то А + (А) = О, т.е. матрица (А) противоположна матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную.

Определение 8. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число  называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на .

Если а_рк – элемент матрицы А, то в матрице В элемент в_рк =а_рк .

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно.
1А = А для любой матрицы А из M_mn .
0А = О для любой матрицы А из M_mn .
()А = (А) для любой матрицы А из M_mn и любых чисел  и .
( + )А = А + А для любой матрицы А из M_mn и любых чисел  и .
(А + В) = А + В для любых матриц А и В из M_mn и любого числа .
Если А  квадратная матрица n-го порядка, то А = ⁿА .

3.2. Простые и двойные суммы

Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.

Определение 9. Сумма вида а₁ + а₂ + … +а_n называется простой суммой и обозначается . Следовательно, = а₁ + а₂ + … +а_n.

Свойства простых сумм:

1⁰. , 2⁰. .

Определение 10. Сумма вида

называется двойной суммой и обозначается .

Свойства двойных сумм:

1⁰. = ; 2⁰. = .

3.3 Умножение матриц

Пусть А – матрица размерности mn и В – матрица размерности n к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т.е. с_рq = (11).