- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
19. Операции над линейными операторами.
Определения. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем .
Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что : .
Произведением линейного оператора на число называется отображение такое, что : .
Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что : (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).
Теорема 4.3. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов f и g соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А + В, αА и ВА.
►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.
Пусть и – линейные операторы. Тогда
= [линейность f ] = =
=[ линейность g ] = = ;
.
Таким образом, gf – линейный оператор.
Пусть – матрицы линейных операторов и соответственно в базисе пространства , и пусть – матрица оператора gf в том же базисе. Тогда по определению матрицы линейного оператора
. (4.25)
С другой стороны,
[линейность g] = (4.26)
Сравнивая (4.25) и (4.26), на основании единственности координат вектора в данном базисе делаем вывод: , откуда и получаем матричную запись: С = ВА.◄
20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
{f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }
{ единственный , что } {f – взаимно однозначный}.◄
Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда
{ } { } { }.
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄
21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
{f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.
Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄
Теорема 4.5. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }
{ единственный , что } {f – взаимно однозначный}.◄