27. Определение и свойства собственных векторов.
Определение.
Ненулевой вектор
линейного пространства V
над полем P
называется собственным
вектором
линейного оператора
,
если существует такое число
P,
что
=
.
(4.41)
Число
из равенства (4.41) называется собственным
значением
оператора f,
соответствующим собственному вектору
.
Очевидно,
все векторы линейного пространства
являются собственными векторами нулевого
оператора с собственным значением,
равным 0, они же являются собственными
векторами тождественного оператора с
собственным значением, равным 1. Оператор
проектирования трехмерного пространства
на ось Оx
имеет следующие собственные векторы:
параллельные оси Оx
– собственные с собственным значением,
равным 1, а векторы, перпендикулярные
оси Оx,
– собственные с собственным значением,
равным 0. При любом
функция
является собственным вектором (или
собственной функцией) оператора
дифференцирования
,
причем собственное значение равно
.
Свойства собственных векторов
1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.
► Предположим,
что некоторому собственному вектору
соответствуют два разных собственных
значения
и
(
).
Тогда
.
(4.42)
По шестому следствию § 1 гл. 3, из (4.42) следует, что , что противоречит определению собственного вектора.◄
2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.
►Пусть
,
,
…,
–
собственные векторы линейного оператора
с собственными значениями
соответственно, причем
при
.
Доказательство проведем методом
математической индукции по количеству
векторов.
a)
.
Предположим, что векторы линейно
зависимы. Тогда один из них можно выразить
через другой, например,
.
Имеем
,
откуда
получаем, что
(так как
,
),
а значит,
,
что противоречит определению собственного
вектора.
б)
Предположим, что утверждение справедливо
для (n–1)-го
вектора и докажем его справедливость
для n
векторов. Пусть собственные векторы
с различными собственными значениями
линейно зависимы. Значит, один из них
можно представить в виде линейной
комбинации остальных, например:
.
(4.43)
Так
как
,
получаем
.
(4.44)
По
предположению индукции, векторы
,
,
…,
линейно независимы. Поэтому из (4.44)
вытекает, что
,
Так как
,
то
при
.
Но тогда из (4.43) видно, что
,
что противоречит определению собственного
вектора.◄
3º.
Множество
всех собственных векторов линейного
оператора
с одним и тем же собственным значением
вместе с нулевым вектором является
подпространством линейного пространства
V.
►Заметим,
что
состоит из всех векторов, удовлетворяющих
условию (4.42),
т.к.
при любом
.
Докажем замкнутость
относительно
операций, заданных
в
V.
Действительно,
{
}
{
;
}
{
}
{
};
{
}
{
}
{
}
{
}.
На основании теоремы 3.4, – подпространство линейного пространства V.◄
4º.
Пусть
–
линейный оператор,
–
его различные собственные значения.
Обозначим
и
.
Тогда
в
существует
линейно независимых собственных векторов
оператора
.
►В
каждом из подпространств
выберем
линейно независимых векторов
и покажем, что система
–
(4.45)
линейно независима. Для этого составим ее линейную комбинацию и приравняем :
.
(4.46)
Обозначим
.
Тогда (4.46) примет вид
,
откуда
вытекает, что система
линейно зависима. Поэтому на основании
свойства 2º
не все из векторов
являются собственными, т. е. среди них
есть нулевые. Пусть, например,
.
Это означает, что
(объясните, почему), и что
.
Теперь видим, что система
линейно зависима. Значит, и среди этих
векторов есть нулевые. Пусть, например,
со всеми вытекающими отсюда последствиями.
После конечного числа шагов получаем,
что в (4.46) все коэффициенты
,
откуда и следует линейная независимость
системы (4.45).◄
28. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.
Пусть
– линейный
оператор. Выберем в
какой-либо базис и обозначим А
матрицу оператора
в этом базисе. Если Х
– координатный столбец собственного
вектора
в заданном базисе, а
– соответствующее ему собственное
значение, то (4.41)
равносильно
равенству
,
которое, в свою очередь, равносильно
следующему:
.
(4.47)
Равенство (4.47) можно рассматривать как матричную запись однородной системы линейных уравнений, причем нас интересуют только ее нетривиальные решения. Как следует из § 5 главы 2, для существования таковых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
(4.48)
Определение.
Характеристическим
многочленом
матрицы А
называется многочлен
,
уравнение (4.48) называется характеристическим
уравнением матрицы
А,
а корни этого уравнения – ее
характеристическими
числами.
Лемма 4.2. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.
►Пусть
матрицы А
и
подобны, значит, существует невырожденная
матрица
такая, что
.
Тогда
Таким
образом, матрицы
и (
)
тоже подобны, а значит, имеют одинаковые
определители.◄
Эта лемма позволяет сформулировать следующее
Определение. Характеристическим многочленом (характеристическим уравнением, характеристическими числами) линейного оператора называется характеристический многочлен (характеристическое уравнение, характеристические числа) его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе.
Из
изложенного выше мы видим, что каждое
собственное значение линейного оператора
является корнем его характеристического
уравнения, т. е. характеристическим
числом. Обратно, если
– корень уравнения (4.48) и
,
то система (4.47) имеет нетривиальное
решение Х0,
значит, АХ0
=
Х0
и тогда, если
–
вектор, координатный столбец которого
в выбранном базисе совпадает с
,
то
,
т. е.
–
собственное значение оператора
.
Если же
,
то оно не может быть собственным значением
согласно определению.
Итак, собственные значения линейного оператора – те его характеристические числа, которые принадлежат полю P.
Теперь можно сформулировать следующее правило. Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе. Чтобы найти собственные векторы оператора поступаем следующим образом:
1)
составляем характеристическое уравнение
(4.48) матрицы А
и находим его корни
.
Те из них, которые принадлежат основному
полю, являются собственными значениями
(т. е., если Р
= С,
то все, если Р
= R – только
действительные);
2)
для каждого из полученных собственных
значений
находим соответствующие ему собственные
векторы, решая однородную систему (4.47)
при
.
. Если определитель однородной квадратной системы линейных уравнений
AX = О, (4.49)
равен нулю, то при любом набор
(
,
,
…,
),
(4.50)
где
–
алгебраическое
дополнение к элементу
матрицы А,
– решение системы (4.49).
►Действительно, подставив (4.50) в каждое из уравнений (4.49), получаем
.
(4.51)
Равенство
(4.51) верно, так как при
его левая часть представляет собой
разложение
по
-й
строке, а при
оно верно на основании теоремы
аннулирования. ◄
29. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.
Лемма 4.4. Для того чтобы матрица А линейного оператора в некотором базисе пространства имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора f, причем диагональными элементами матрицы А являются собственные значения этого оператора.
►Пусть
– (4.55)
базис пространства , A – матрица оператора f в этом базисе. Тогда
{А
–
диагональная}
{(4.55)
состоит из собственных векторов оператора
а
– его собственные значения}.◄
Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.
Теорема 4.13. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P, – линейное пространство над Р, – тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (4.55) пространства совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора f.
►Выберем в еще один базис
(4.56)
и обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (4.55) к базису (4.56). Матрица оператора f в этом базисе имеет вид . Тогда
{в существует базис (4.56) из собственных векторов оператора f }
{матрица оператора в базисе (4.56) диагональная} {А приводится к диагональному виду}.◄
Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.
Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду – матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.