- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
Свойства расстояния
1.
► ◄
2.
► ◄
3. (неравенство треугольника).
►Вытекает из равенства и неравенства треугольника для векторов. ◄
Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством
Подпространства линейного пространства.
Определение. Подмножество W линейного пространства V над P называется его подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций, заданных в V.
Теорема 3.4. Для того чтобы непустое подмножество W линейного пространства V над P было его подпространством, необходимо и достаточно, чтобы W было замкнуто относительно операций, заданных в V, т. е. чтобы выполнялись условия:
1)
2) .
►Необходимость. Пусть W – подпространство пространства V, значит, W – само линейное пространство относительно тех же операций, поэтому внутренняя и внешняя операции в V являются соответственно внутренней и внешней для W, следовательно, условия 1 и 2 выполняются.
Достаточность. Пусть теперь выполняются условия 1 и 2. Тогда операции, заданные в V, для W являются соответственно внутренней и внешней. Остается доказать выполнение аксиом из определения линейного пространства.
Аксиомы 1*, 2* и 5* – 8* в W выполняются, так как они выполняются в V (например, ).
Если – нейтральный элемент в V, то, конечно же, Но попал ли в W? Так как , то , и тогда на основании 2-го условия Таким образом, если W замкнуто относительно внешней операции, то оно обязательно содержит нейтральный элемент пространства V, а значит, аксиома 3* из определения линейного пространства выполняется.
Пусть . Тогда и . Опять вопрос: попал ли в W? И опять, на основании второго условия теоремы, , а значит, и аксиома 4* из определения линейного пространства также выполняется.
Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
Линейной оболочкой системы элементов
(3.36)
линейного пространства V над P называется множество
т. е. это множество всевозможных линейных комбинаций элементов системы (3.36) (система (3.36) может быть и бесконечной).
Теорема 3.5. Линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства V над P является его подпространством, причем размерность линейной оболочки некоторой системы совпадает с максимальным количеством ее линейно независимых векторов.
► Выберем произвольные векторы и произвольное число ,
,
Тогда , а также
Таким образом, на основании теоремы 3.4 является подпространством пространства V.
Пусть m – максимальное количество линейно независимых элементов в (3.36) ( и пусть подсистема
– (3.37)
линейно независима (если это не так, переставим линейно независимые элементы на первые места). Имеем, во-первых,
.
Во-вторых, так как m – максимальное количество линейно независимых элементов в (3.36), то система линейно зависима, а значит, на основании свойства 4º линейной зависимости (§ 2),
такие, что . Следовательно,
: [замена индекса] = =
.
Таким образом, (3.37) – система образующих в , а значит, и базис, поэтому .