- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
Связь координат вектора с координатами его образа
Пусть в линейном пространстве задан базис (4.8) и пусть – матрица линейного оператора в этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим . Обозначим и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (4.8). Тогда
[(4.3)] [(4.11)] = ,
и
. (4.13)
Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем
. (4.14)
Записав (4.14) по правилу цепочки ( ), получаем
. (4.15)
Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.
18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(4.16)
и
, (4.17)
и пусть A = и – матрицы линейного оператора в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда
, (4.18)
где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).
►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем
= [определение матрицы перехода] = = [(4.3)] = =
= [(4.11)] = = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .
Итак,
= . (4.19)
Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
. (4.20)
В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство
, (4.21)
которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:
. (4.22)
Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄
Определение. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .
Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.
Лемма 4.1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители. ► .◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .