- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •2.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •5.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •6.Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.
- •Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •Свойства расстояния
- •Подпространства линейного пространства.
- •Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.
- •10.Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.
- •11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.
- •Свойства матрицы перехода
- •14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Изменение координат вектора при изменении базиса
- •15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
- •16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса
- •19. Операции над линейными операторами.
- •20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
- •21.Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
- •22.Обратный линейный оператор.
- •23.Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
- •Свойства изоморфизма
- •24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
- •25.Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.
- •26.Линейные формы.
- •27. Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
- •31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
- •32. Присоединенные векторы и правило их нахождения.
- •Правило нахождения присоединенных векторов
15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .
Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. такой, что .
2.
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
3. такой, что
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения и называются равными, если .
Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.
Примером произведения отображений является сложная функция.
Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения , и , то
.
Для доказательства равенства отображений и нужно показать, что .
Итак, выберем произвольное . Тогда
; (4.1)
(4.2)
Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что : и поэтому, .
Отображение называется обратным к отображению , если и (рис. 4.3).
16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
Определение. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*.
2*.
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то :
(4.3)
Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
а) n = 1: [2*] – истинно.
б) Предполагая, что утверждение верно для (n-1)-го вектора, доказываем его для n векторов.
= [1*] =
[2* и предположение индукции] =
=