3.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Определение. Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система

(3.18)

элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , такие, что

(3.19)

2) система (3.18) линейно независима.

Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

►Пусть

( ) – (3.22) базис линейного пространства ;

(3.23)

разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда

( ) =

= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =

= (3.24)

Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда

(3.25)

Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: ◄

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то

4.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Теорема 3.1 (матричный критерий). Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.

Для того чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.

При доказательстве используем теорему 2.4 и лемму 3.1

Лемма 3.1. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.

Теорема 2.4 (о линейной независимости строк и столбцов). Для того чтобы строки (столбцы) матрицы были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг равнялся количеству строк (столбцов).