Выполните следующие задания.

1. Решить уравнение . Сравнить с ответом в аналогичном примере лабораторной работы № 4.

2. См. задачу о частной клинике в лабораторной работе №4. Какую зарплату могли бы вы назначить санитарке, имея ежемесячный фонд зарплаты в 300000р.?

3. Как победитель игры «Последний герой» бедный студент заимел 3 млн. рублей и сразу поместил эту сумму в банк под 5% годовых. В конце каждого из первых 4 лет хранения после начисления процентов студент снимал для своих нужд одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года, после начисления процентов, оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 20%. Какую сумму вкладчик ежегодно снимал?

4. В результате игры в «Кто хочет стать миллионером», мистер Х получил от Максима Галкина 250 000 рублей и тут же положил в банк под 5% годовых. Чтобы открыть «свое дело», нужен не только первоначальный капитал, но и солидное образование, поэтому он поступил на экономический факультет СиБГУ в договорную группу. Для оплаты обучения, помощи родителям, для других неотложных нужд, в начале каждого года обучения он с вклада снимал одну и ту же фиксированную сумму. Проценты к вкладу начислялись в конце каждого года. К концу пятого года, после начисления процентов, оказалось, что от первоначальной суммы остались 65667р10 копеек. Какую сумму вкладчик ежегодно снимал? Какую сумму он мог бы снимать каждый год, чтобы остались 100 000 р.?

5. Найти три наименьших корня уравнения x sin x = 1.

Лабораторная работа №7. Microsoft Excel. Решение задач оптимизации. Оптимальные бизнес планы.

Многие задачи экономики связаны с заданием (поиском) параметров x₁, x₂, … , x_n некоторого (например, производственного) процесса, в результате реализации которого получилось бы максимальное (минимальное) значение некоторой целевой функции F=f(x₁, x₂, … , x_n ), (например, максимальная прибыль, минимальные затраты и т.п.) при выполнении некоторых дополнительных ограничений B_i(x₁, x₂, … , x_n) ≤ 0, i=1,…,m. Обычно решение таких задач сопровождается с большим объемом вычислений, что затрудняет ручной расчет. Этот круг задач у математиков всегда вызывал и вызывает повышенный интерес, они называются экстремальными или задачами оптимизации. Достаточно хорошо изучен случай линейных задач, когда F и B линейно зависят от своих аргументов – это так называемые задачи линейного программирования.

Среди сервисных программ Excel имеется программа «Поиск решения», которая позволяет решать достаточно сложные задачи оптимизации.

Пример.

Фирма производит две модели сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья, временем машинной обработки. Одно изделие модели А требует 3 м доски и 12 минут машинного времени, а одно изделие модели В - 4 м доски и 30 минут машинного времени. За месяц фирма может получить от поставщика 1500 м досок и использовать не более 140 часов машинного времени. Сколько изделий модели А и В нужно произвести за месяц, чтобы прибыль была максимальной, если одно изделие А приносит 300 рублей, В – 600 рублей прибыли?

Для решения задачи с использованием компьютера необходимо составить математическую модель производства. Обычно при словах «математическая модель» экономисты падают в обморок. Но студенты-экономисты нашего института знают, что «математическая модель» - это всего лишь формальная запись приведенных условий задачи! Если через x и y обозначим соответственно планируемое количество изделий моделей А и В, то получаемая при этом прибыль найдем по формуле L = 300 x + 400 y. Ясно, что чем больше произведем изделий, тем больше прибыли, однако у нас имеются производственные ограничения, связанные с материалом и временем, т.е. x и y не могут быть слишком большими. При данном количестве изделий мы потратим досок M = 3 x + 4 y (метров) и времени Т = 0,2 x + 0,5 y (часов). Заметим, что 12 минут = 0,2 часа и 30 минут = 0,5 часов. Если еще учесть, что искомое количество изделий x и y должны быть неотрицательными и целыми, то получим следующую математическую модель и постановку задачи:

Найти такие x и y, чтобы целевая функция L = 300 x + 400 y принимала максимально возможное значение, если выполнены ограничения 0,2 x + 0,5 y ≤ 140, 3 x + 4 y ≤ 1500, x ≥ 0, y ≥ 0, x,y – целые.

Теперь самое время составить табличную модель

Рис. 20.

Поместим в ячейках С4:Е5 данные о расходах и прибыли на единицу продукции, а в С7:D7 - ограничения на материал и время. В ячейках В4:В5 запишем пока произвольные плановые показатели – количество выпускаемых изделий. От этих значений зависит общий расход материала, времени и суммарная прибыль. В ячейке С6 вычислим общий расход материала по формуле B4*C4+B5*C5.

Аналогично в ячейках D6 и E6 вычислим общий расход времени и общую прибыль по формулам B4*D4+B5*D5, B4*E4+B5*E5. Таблица готова. Она показывает, что при производстве 10 штук изделий А и 5 штук изделий В будут потрачены 50 метров доски, 4,5 часа времени и получена общая прибыль в 6000 рублей. Как видно, еще много осталось неиспользованной доски и времени. Поставив в ячейки для плана другие числа, тут же получим другие расходы и прибыль.

Теперь можно поэкспериментировать, т.е. попробовать «вручную» выбрать такие значения x и y, при которых бы были израсходованы весь материал, время и прибыль была бы максимальной. Это называется вычислительным экспериментом. Так как у нас всего два параметра, причем они целые, после небольшого перебора можно найти решение задачи.

Однако, как отмечалось выше, в Excel имеется очень удобная программа «Поиск решения», которая решит нашу задачу за доли секунды. Главное правильно к ней обратиться. После вызова программы появится диалоговое окно, где нужно в терминах подготовленной таблицы повторить постановку задачи:

Рис. 21.

1. Целевая функция вычисляется в ячейке Е6.

2. Нам надо добиться ее максимального значения.

3. Для этого можно изменять содержимые ячеек В4:В5.

4. Надо еще учесть, т.е. добавить ограничения - В4:В5 целые, неотрицательные. Третье ограничение указывает, что можно расходовать материала и времени не больше заданных.

Остается нажать на кнопку «Выполнить» и увидеть найденное машиной решение:

Оказывается, надо планировать 272 шт. изделий модели А и 171 штук изделий модели В. При этом получим прибыль 184200 рублей. Никакой другой план производства не даст большей прибыли, если не нарушать заданные ограничения.

Рис. 22.

Важно запомнить!

В задачах оптимизации, как и при решении уравнений, часто бывает несколько вариантов решения. Это означает, что целевая функция может принимать оптимальное значение в нескольких точках. Смотри замечания к лабораторной работе №6.