Решение переопределенных систем линейных уравнений.
На практике часто требуется решить систему линейных уравнений, где число уравнений больше числа неизвестных. Пусть, например, в результате каких-то экспериментов, опытов получена таблица значений некоторого параметра Y от другого параметра X. Это может быть зависимость прибыли от расходов на рекламу, зависимость урожайности от объема использования некоторого удобрения, зависимость поступлений в бюджет от величины налоговой ставки, зависимость количества заявлений на поступление в конкретный ВУЗ от суммы оплаты за обучение, зависимость цены товара от срока изготовления и т.д. Требуется на основании этих данных построить обоснованный прогноз.
Ясно, что при большом количестве опытных данных нет никакого красивого математического выражения Y=F(X), используя которое можно было бы в точности смоделировать полученные экспериментальные значения и строить прогнозы. Возникает практически очень важная задача: найти эмпирическую формулу Z = G(X), значения которой при заданных значениях X возможно мало отличались бы от опытных данных. Эмпирические формулы не претендуют на роль законов природы, экономических отношений, а являются лишь гипотезами, более или менее согласующимися с опытными данными. Однако значение их весьма велико. В истории известны многочисленные примеры, как получение удачной эмпирической формулы приводило к большим научным открытиям.
Найти эмпирическую формулу означает найти неизвестные коэффициенты предполагаемой аналитической зависимости.
Пример. Подобрать эмпирическую формулу для табличных данных
-
X
2
4
7
9
Y
30
43
70
82
Отметив соответствующие точки на координатной плоскости, увидим, что точки расположены примерно на одной прямой.
Поэтому будем искать эмпирическую зависимость вида
Z = k1X + k2, где коэффициенты k1 и k2 неизвестны. Для них естественно написать систему уравнений
-
2 k1 + k2 = 30
4 k1 + k2 = 43
7 k1 + k2 = 70
9 k1 + k2 = 82
Решить эту систему
означает найти прямую Z
= k1X+k2,
проходящую через заданные четыре точки
на плоскости. Но эти точки не лежат на
одной прямой, следовательно, система
не имеет решений! Поэтому разумно искать
прямую, не обязательно точно проходящую
через эти точки, а по возможности близко
к ним. Тем более, что экспериментальные
данные, как правило, содержат какие-то
погрешности. Оказывается, в такой
постановке задача уже имеет четкое
математическое решение. Не вдаваясь в
детали, напишем, что если дана система
А k
= Y,
где матрица А имеет N
строк и M
столбцов, N>M,
то, используя аппарат метода наименьших
квадратов, вектор k
можно найти по формуле
,
где AT
означает транспонированную матрицу.
Для транспонирования матриц в Excel
есть специальная функция ТРАНСП.
Ниже приводится таблица, где вычисляется вектор k.
Рис. 16.
Транспонированная матрица будет иметь 2 строки и четыре столбца. Она расположена в ячейках C10:F11. Далее, в соответствии с формулой для вектора k вычислим матрицы ATA, (ATA)-1, вектор ATY и произведение (ATA)-1 ATY, что и даст решение задачи.
Искомая эмпирическая формула имеет, таким образом, вид
Z = 7,47 x + 17,19.
Для сравнения в таблице (Рис.16.) приводятся значения найденной функции в данных точках.
Рис. 17.