- •Введение.
- •Основные факты планиметрии.
- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
Решебник к сборнику заданий А.Д.Блинкова, Т.М.Мищенко
для проведения экзамена по геометрии
в 9 классе
(задания второй части итоговой аттестационной работы).
Комсомольск-на-Амуре
2008 год
Учебное пособие составлено на основе решений учащихся МОУ лицей №1 г.Комсомольска – на – Амуре Замана К. и Мельниченко А. под руководством Будлянской Н.Л., учителя математики высшей категории.
В пособии приведены решения задач второй части итоговой аттестационной работы по геометрии в 9 классе. Все решения задач изложены очень грамотно и четко с необходимыми пояснениями. Для задач представлены по 2-3 способа решения. Некоторые задачи сборника сформулированы таким образом, что необходимо рассмотреть различные варианты предложенной в условии задачи ситуации (задача №15 варианта 2), и это отмечено в их решении.
Данный сборник решенных задач представляет определенную значимость для учителей и учащихся 9 класса при подготовке к экзамену по геометрии.
Заслуженный учитель школы РФ
кандидат педагогических наук,
доцент Г.Н.Сумина
2008г.
Введение.
При подготовке к итоговой аттестации по геометрии в 9 классе многие учителя и учащиеся используют «Сборник заданий для проведения экзамена в 9 классе» авторов А.Д.Блинкова и Т.М.Мищенко, издательства «Просвещение», 2006. При этом задачи второй части вызывают у некоторых серьезные затруднения, что усугубляется отсутствием ответов и комментариев к ним.
Данное пособие призвано помочь снять эти трудности.
Пособие снабжено описанием используемых основных теоретических фактов, необходимыми чертежами и пояснениями. Многие задачи решены несколькими способами.
Основные факты планиметрии.
I. Треугольники
1) Теорема синусов.
В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих
углов.
В
а b
А c С
2) Теорема косинусов.
В треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
В
а b
А с С
Примечание. Если CosA 0, то А – острый, если CosА = 0, то
А – прямой, если CosA 0, то А – тупой.
3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
Биссектриса угла треугольника делит его сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам.
В
D
А С
4) Вычисление биссектрисы угла.
В
А С
5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
С В
А
, где или , где
6) Теорема о медианах.
В треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся в
отношении 2:1, считая от вершины.
В
А
С
7) Вычисление длины медианы треугольника
С
с а
А b В
8) Теорема о высоте прямоугольного треугольника.
С
b a , где =DB – проекция катета а
на гипотенузу с, =АD – проекция
А c В катета b на гипотенузу с.
D ,
9) Теорема о центре вписанной окружности.
В
Центр вписанной окружности лежит на
пересечении биссектрис треугольника.
А С
10) Теорема о центре описанной окружности.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных
Перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр описанной окружности в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника;
Центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника;
Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.
11) Тригонометрические функции в прямоугольном
треугольнике.
А , , ,
b с
С В
а
12) Площадь треугольника.
а) ;
б) ;
в) , где ;
г) , где R – радиус описанной окружности;
д) ;
е) , где r радиус вписанной окружности, Р – периметр
треугольника;
ж) - площадь равностороннего треугольника;
13) Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.
В
А С
Площади относятся как произведение сторон, заключающих равные углы, то есть если , то .
14) Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
В
А С
, где К – коэффициент подобия.
Примечание:
14) Теорема Чевы.
Если три чевианы пересеклись в одной точке, то
В
, , - чевианы.
А С
II. Четырехугольники
1) Параллелограмм.
В а С
h площадь
b параллелограмма АВСD
А D
В С
A D где и - диагонали параллелограмма АВСD 2) Ромб.
В , где и - диагонали ромба АВСD
А С
, где а – сторона ромба
D
3) Трапеция.
B b C
, где - средняя линия трапеции
A а D
4) Свойства описанного четырехугольника.
b В любом описанном четырехугольнике суммы противо-
положных сторон равны:
a c с
d
5) Свойства вписанного четырехугольника.
В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна :
6) Площадь любого четырехугольника, у которого диагонали
перпендикулярны, выражается формулой:
В
А С , где и - диагонали
D четырехугольника АВСD.
7) Правильные многоугольники.
- сторона правильного многоугольника,
где R – радиус описанной окружности;
- сторона правильного многоугольника, где – r радиус
вписанной окружности;
I II. Окружность.
1)
В
АВС – вписанный, АВС= АС;
С ADC – центральный, ADC= АС.
А
2 )
C
D Углы, опирающиеся на диаметр прямые.
B
A АВ – диаметр, АСВ = ADB =
3)
D
A B