Вариант 13.

№13.

В треугольнике АВС проведены медианы АМ и CN. найдите расстояние между их серединами, если АС=16 см.

Д ано: , медианы АМ и СN, AD=DM, NF=FC, .

Найти:

Решение.

Введем прямоугольную систему координат так, что A(0;0), B(a;b), C(16;0), тогда , ,

Ответ:

№14.

В треугольнике ABC угол A больше угла B, а угол B больше угла C. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?

Д ано: ABC, A > B >C, O –центр вписанной в ABC окружности

Найти: к какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности

Решение:

Поскольку O – центр вписанной окружности, то OA, OB и OC – биссектрисы углов A, B и C соответственно.

Т.к. A > B, то A > B , а т.к. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона .

Аналогично (из ). Таким образом, центр вписанной в треугольник ABC окружности ближе всего расположен к вершине A.

№15.

Дан прямой угол. Найдите геометрическое место середин всех отрезков одной и той же длины с концами на сторонах этого угла.

Д ано: - прямоугольный, , , ,

Найти: ГМТ

Решение.

- прямоугольные, тогда , значит, точки лежат на дуге окружности с центром в точке С и

Ответ: точки лежат на окружности с центром в точке С и

Вариант 14.

№ 13.

В прямоугольном треугольнике ABC (C – прямой) проведена высота CD, а в треугольнике ACD – биссектриса CE. Докажите, что треугольник BCE равнобедренный.

Д ано: ABC, C = 90, CD – высота ABC, CE – биссектриса ACD

Доказать: BCE – равнобедренный.

Доказательство.

Так как CE – биссектриса ACD, то ACE = ECD. BCE = ACB - ACE = 90 -

-ECD, BEC = 180 - ADC - ECD = 90- -ECD  BCE = BEC  BCE – равнобедренный.

№ 14.

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. Определите, в каком отношении диагонали трапеции делятся точкой пересечения.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция AB = CD, AC  CD, AC  BD = O, AC –биссектриса A

Найти:

Решение.

Так как трапеция – равнобокая и АС – биссектриса , то BAC = CAD = BDC = BDA  CAD = 90 - 2CAD  CAD = 30  , а так как OD – биссектриса ACD, то

Ответ:

№ 15

Треугольник ABC – равносторонний со стороной, равной a. На расстоянии a от вершины A взята точка D. Найдите угол BDC.

Дано: ABC – равносторонний, AB = = BC = AC = AD = a

Найти:

Решение.

Построим окружность с центром в точке A и радиусом, равным a. Тогда точки B, C и D лежат на этой окружности, а градусная мера меньшей дуги BC равна 60 (поскольку BAC – центральный для этой окружности и равен 60). Рассмотрим 2 случая:

1) пусть D лежит на большей дуге BC окружности (на чертеже эта точка обозначена как D₁). Тогда BDC – вписанный и опирается на меньшую дугу BC и, потому, равен половине её градусной меры, то есть 30;

2) пусть D лежит на меньшей дуге BC окружности (на чертеже эта точка обозначена как D₂). Тогда BDC – вписанный и опирается на большую дугу BC и, потому, равен половине её градусной меры, то есть 150. Примечание: Если точка D совпадает с одной из точек B или C, что вполне возможно согласно условию задачи, то BDC = 0

Ответ: 30° или 150°