- •Введение.
- •Основные факты планиметрии.
- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
Вариант 10.
№13.
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F и G – середины сторон АВ, ВС и AD соответственно, причем . Найдите угол ACD.
Д ано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .
Найти:
Решение.
GF – серединный перпендикуляр к , GЕ – серединный перпендикуляр к , значит, точка G равноудалена от всех вершин ABCD G – центр описанной около ABCD окружности.
опирается на диаметр
Ответ:
№14.
В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 1:3. Диагонали ромба равны 18 см и 24 см. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.
Д ано: DBFE – ромб, , , .
Найти: АВ, ВС
Решение.
Т.к. DBFE – ромб, то, из прямоугольного .
и аналогично , тогда и , как соответственные углы при параллельных прямых, значит,
Ответ: ,
№15.
Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырехугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.
Д ано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .
Доказать: BF=KL
Доказательство.
Зададим прямоугольную систему координат так, что сторона СВ лежит на оси Ox, AD - на Oy, тогда пусть A(0;a), B(b;0), C(c;0), D(0;d).
Тогда , , ,
Т.е. BF=KL, ч.т.д.
Вариант 11.
№13.
В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD=6 см и BD=5 см.
Д ано: ABCD – параллелограмм, , .
Найти: АС
Решение.
Дополнительное построение: , так что и поэтому , Т.е. получим прямоугольник , где , . Из прямоугольного :
Ответ:
№14.
В шестиугольнике ABCDEF AB=AF, BC=CD, DE=EF. Докажите, что биссектрисы углов А, С и Е пересекаются в одной точке.
Д ано: ABCDEF, AB=AF, BC=CD, DE=EF, АА1, СС1, ЕЕ1 - биссектрисы.
Доказать:
Доказательство.
- равнобедренные, тогда АА1, СС1, ЕЕ1 – биссектрисы и медианы - серединные перпендикуляры к сторонам , а серединные перпендикуляры пересекаются в треугольнике в одной точке, т.е. , ч.т.д.
№15.
Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 12 см, а угол между ними равен . Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
Д ано: , , .
Найти: длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
Решение.
По теореме косинусов
, т.е. искомая биссектриса , т.к. против большего угла лежит большая сторона
Ответ:
Вариант 12.
№13.
В треугольнике со сторонами 30 см, 25 см и 11 см найдите длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.
Д ано: , .
Найти: длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.
Решение.
Дополнительное построение:
Меньший угол лежит против меньшей стороны - меньший.
Пусть , тогда из :
Из ,
Ответ:
№14.
Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 29 см, а средняя линия – 21 см.
Д ано: ABCD – равнобокая трапеция, , - средняя линия, .
Найти:
Решение.
Дополнительное построение: .
Т.к. , то
- прямоугольный,
Ответ:
№15.
Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину.
Д ано: , - хорды, - середины хорд
Найти: ГМТ
Решение.
, т.к. , ( по теореме о диаметре, делящем хорду пополам),
Тогда , т.е. середины хорд равноудалены от центра окружности, т.е. лежат на окружности с центром в точке О и .
Теперь докажем, что все точки окружности являются серединами хорд данной окружности длины l.
Пусть . Построим , т.е. АВ – касательная к окружности .
( - общая, AO=OB=R). По теореме Пифагора , ч.т.д.
Ответ: середины хорд лежат на окружности с центром в точке О и .