- •Введение.
- •Основные факты планиметрии.
- •I. Треугольники
- •1) Теорема синусов.
- •2) Теорема косинусов.
- •3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
- •4) Вычисление биссектрисы угла.
- •5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
- •4 ) Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
- •Вариант 1.
- •Вариант 2.
- •Вариант 4.
- •Вариант 5.
- •Вариант 6.
- •Вариант 7.
- •Вариант 8.
- •Вариант 9.
- •Вариант 10.
- •Вариант 11.
- •Вариант 12.
- •Вариант 13.
- •Вариант 14.
- •Вариант 15
- •Вариант 16.
- •Вариант 17.
- •Вариант 18.
- •Вариант 19.
- •Вариант 20.
Вариант 17.
№13.
В прямоугольной трапеции ABCD высота АВ равна сумме оснований AD и ВС. Биссектриса угла АВС пересекает сторону CD в точке К. В каком отношении эта точка делит CD?
Д ано: ABCD – прямоугольная трапеция, , - биссектриса, .
Найти:
Решение.
I способ
Пусть EF – средняя линия ABCD. Проведем BF и AF, , также - равнобедренный, ;
- биссектриса, - средняя линия и
Ответ:
I I способ
Пусть , тогда - равнобедренный
также равнобедренный
- прямоугольный
ВК – биссектриса равнобедренного треугольника с основанием МС ВК – серединный перпендикуляр к центр описанной вокруг окружности лежит на ВК, но он также лежит на CD, как на гипотенузе. В , точка, принадлежащая одновременно CD и ВК, является точкой К К – центр описанной вокруг окружности .
Ответ:
I I способ
Пусть BK AD = L. Так как BK – биссектриса B, а B = 90, то ABL = = CBL = 45. Так как AL װ BC, то BCD = CDL, ABL = CBL = L = = 45 ABL – равнобедренный AB = AL. Так как AB = AD + BC, AL = = AD + DL, а AB = AL, то AD + BC = AD + DL BC = DL. Так как BCD = = CDL, CBL = L, BC = DL, то BCK = DKL CK = KD .
Ответ:
№14.
В окружность диаметра см вписан шестиугольник, одна сторона которого 10 см, а все остальные равны между собой. Найдите его углы.
Д ано: , , .
Найти:
Решение.
I способ
по теореме косинусов
Ответ: ,
I I способ
Пусть . В - равнобедренный
Сумма всех углов шестиугольника
Итак ,
Ответ: ,
№15.
На окружности с центром О дана точка А. найдите геометрическое место середин всех хорд этой окружности, проведенных из точки А.
Д ано: , ,
Найти: ГМТ точки М
Решение.
Пусть точка B1 окружности такая, что точка O не лежит на отрезке AB1. Пусть O1 – середина AO. Тогда, поскольку M1 – середина AB1 и O1 – середина AO, O1M1 – средняя линия в AOB1 O1M1 = ½OB1 = ½R. Таким образом, точка M1 удалена от данной точки O1 на данное расстояние, равное ½R. Тогда, в силу произвольности выбора точки B1, все точки M лежат на данном расстоянии от точки O1, то есть, на окружности с центром в точке O1 и радиусом, равным ½R. Докажем, что все точки этой окружности принадлежат искомому ГМТ. Выберем произвольно точку M2 этой окружности. Пусть прямая AM2 пересекает данную окружность в точке B2. Докажем, что M2 – середина AB2. Так как AO = OB2, то AOB2 – равнобедренный OAB2 = OB2A. Также AO1 = O1M2, поэтому AO1M2 – равнобедренный OAB2 = O1M2A OB2A = O1M2A O1M2 װ OB2, а так как O1 – середина AO, то по теореме Фалеса M2 – середина AB2. Итак, искомое ГМТ – окружность с центром в середине отрезка AO и радиусом, равным половине этого отрезка.
Ответ:
Вариант 18.
№ 13.
Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
Д ано: ABC, AB = AC = 13, BC = 10.
Найти: R
Решение.
S =
R = .
Ответ:
№ 14.
Точки M и N – середины сторон CD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что отрезки AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
Дано: ABCD – параллелограмм, MС=MD, NB=NC, AMBD = K, ANBD = L
Доказать: DK = KL = LB
Доказательство.
Так как ABCD – параллелограмм, то AB = DC, AD = BC, AB║CD, AD║BC. Так как M – середина CD, то DM = ½CD = ½AB Аналогично . Так как AB║CD, то ABK ~ DKM DK = BD – DK DK = BD DK = BD. Аналогично из подобия треугольников ALD и BLN получаем: BL = BD. Так как DK + KL + LB = = BD, DK = BD, BL = BD, то и KL = BD DK = KL = LB, ч.т.д.
№ 15.
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M, и из неё опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. Определите, при каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей.
Дано: ABC, C = 90, M AB, MK AC, MP BC
Найти: при каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей.
Решение.
Заметим, что CKMP – прямоугольник PK = CM при любом положении точки M на гипотенузе. Значит PK минимально только в том случае, если CM минимально, а минимальное расстояние от точки C до прямой AB есть отрезок перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Значит M – основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу.
Ответ: M – основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу.